§ 3. Комплексное евклидово пространство.

1. Определение комплексного евклидова пространства. Если в определении линейного пространства числа брать не действительными, а комплексными, то мы придем к понятию комплексного линейного пространства. На базе комплексного линейного пространства строится комплексное евклидово пространство, играющее функциональную роль в теории несамосопряженных линейных преобразований. Для введения комплексного евклидова пространства следует ввести в комплексное линейное пространство понятие скалярного произведения.

Определение. Комплексное линейное пространство называется комплексным евклидовым пространством, если выполнены следующие два условия:

1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам и этого пространства ставится в соответствие комплексное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом .

2. Указанное правило подчиняется следующим четырем системам:

1)

2)

3)

4) представляет собой вещественное неотрицательное число, обращающееся в нуль в случае, когда - нулевой элемент.

Логическим следствием аксиом 1-3 являются следующие два соотношения:

и (4.3.1)

Действительно:

.

2. Примеры конкретных комплексных евклидовых пространств.

1). Совокупность всех функций , определенных для значений и принимающих комплексные значения:

, (4.3.2)

где и - действительные функции аргумента .

Сложение этих функций и умножение их на число примем как в математическом анализе: .

Скалярное произведение функций и определяется выражением:

, (4.3.3)

где - функция комплексного сопряжения . Легко проверяется справедливость аксиом 1-4:

1) .2). .

3). .

4). .

2). Рассмотрим комплексное линейное пространство, элементами которого служат упорядоченные совокупности из комплексных чисел с такими же операциями сложения элементов и умножения элемента на число, как и в случае вещественного линейного пространства. Будем обозначать комплексное линейное пространство символом .

Скалярное произведение элементов и определяется следующим образом:

. (4.3.4)

Также можно показать, что для множества выполняются аксиомы 1-4:

1). .

2).

3). .

4). .

Это доказывает, что множество является комплексным евклидовым пространством.

3). В том же самом комплексном линейном пространстве введем операцию скалярного произведения элементов и по следующему правилу:

, (4.3.5)

в котором произвольная матрица удовлетворяет соотношению:

. (4.3.6)

Так что для всех комплексных чисел квадратичная форма является вещественной и положительно определенной.

Можно показать, что определенное таким образом скалярное произведение (4.3.5) удовлетворяет аксиомам 1-4 евклидова пространства:

1). .

2). .

3). .

4). .

3. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие нормы. Для любых двух элементов комплексного евклидова пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского:

. (4.3.7)

Доказательство. На основании аксиомы 4 для любого комплексного числа справедливо неравенство:

. (4.3.8)

Используя аксиомы 1-3, получим:

(4.3.9)

Используя соотношение (4.3.8), получим:

. (4.3.10)

Пусть - аргумент комплексного числа . Тогда, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа, получим:

. (4.3.11)

Пусть теперь: . (4.3.12)

Подставляя (4.3.11,12) в (4.3.10), получим:

. (4.3.13)

Для того, чтобы квадратный трехчлен (4.3.13) был неотрицателен, достаточно, чтобы его дискриминант был не положителен:

. (4.3.14)

Отсюда окончательно получим:

. (4.3.15)

Всякое комплексное евклидово пространство является нормируемым, если в нем ввести норму согласно соотношению:

. (4.3.16)

Во всяком комплексном евклидовом пространстве с нормой, определенной согласно (4.3.16), справедливо неравенство треугольника:

. (4.3.17)

Замечание. Введенное в вещественном евклидовом пространстве понятие угла между двумя элементами и теряет смысл в комплексном евклидовом пространстве, поскольку скалярное произведение является комплексным числом.

4. Ортонормированный базис и его свойства. Элементы и комплексного евклидова пространства называются ортогональными, если .

Ортонормированным базисом комплексного мерного евклидова пространства называется совокупность элементов , удовлетворяющих соотношению:

(4.3.18)

Если , , тогда:

.(4.3.19)

Для того, чтобы найти координату элемента в базисе найдем скалярное произведение:

. (4.3.20)

Все комплексные евклидовы пространства одной и той же размерности изоморфны между собой.