2. Некоторые свойство произвольных линейных пространств.

Теорема 2.1. В произвольном линейном пространстве существует единственный нулевой элемент и для каждого элемента существует единственный противоположный элемент.

Теорема 2.2. В произвольном линейном пространстве нулевой элемент равен произведению произвольного элемента на вещественное число , для каждого элемента противоположный элемент равен произведению этого элемента на вещественное число .

§2. Базис и размерность линейного пространства.

1. Понятие линейной зависимости элементов линейного пространства. Естественным обобщением понятия линейной зависимости, введенного ранее для строк матрицы и для векторов, является линейная зависимость элементов линейного пространства.

Линейной комбинацией элементов …линейного пространства является выражение вида

(2.2.1.)

где - произвольные вещественные числа.

Определение 1. Элементы в пространстве называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа из которых хотя бы одно не равно нулю, что линейная комбинация элементов с указанными числами является нулевым элементом пространства , т.е. имеет место равенство:

(2.2.2.)

Определение 2. Элементы пространства являются линейно не зависимы- ми, если линейная комбинация (2.2.1.) является нулевым элементом пространства , лишь при условии .

Теорема 2.3. Для того, чтобы элементы пространства были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных элементов (доказательство аналогично теореме (1.1.5.)

Справедливы следующие утверждения

1.Если среди элементов имеется нулевой элемент, то эти элементы линейно зависимы.

2. Если часть из элементов является линейно зависимыми, то и все эти элементы линейно зависимы.

3. Система элементов:

………………..

(2.2.3.)

линейного пространства является линейно независимой. Добавление к этой степени любого элемента делает её линейно зависимой.

2. Базис и координаты.

Определение 3. Совокупность линейно независимых элементов пространства называется базисом этого пространства, если для каждого элемента пространства найдутся такие числа , что справедливо равенство:

(2.2.4.)

При этом элементы системы (2.2.3.)называются единичными векторами или ортами пространства , выражение (2.2.4.) называется разложением вектора (элемента) по базису, а числа - координатами вектора в базисе .

Каждый элемент линейного пространства может быть разложен по базису единственным способом.

Теорема 2.4. При сложении любых двух элементов линейного пространства координаты их относительно произвольного базиса складываются, а при умножении произвольного элемента пространства на произвольное вещественное число все координаты этого элемента умножаются на это число.

Доказательство. Пусть - произвольный базис пространства , , . В силу аксиом 1-8 :

.

.

В силу единственности разложения и по базису. Теорема доказана.

3. Размерность линейного пространства. Как и выше, будем рассматривать произвольное линейное пространство.

Определение 4. Линейное пространство называется - мерным, если в нем существует линейно независимых элементов, а любые элементов уже являются линейно зависимыми. При этом, число называется размерностью пространства.

Определение 5. Пространство называется бесконечномерным, если в нем существует любое количество линейно независимых элементов.

Теорема 2.5. Если - линейное пространство размерности , то любые линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.

Теорема 2.6. Если линейное пространство имеет базис, состоящий из элементов, то размерность равна .

Пусть имеется система элементов пространства .

(2.2.5.)

Из теоремы 2.6. следует, что система из элементов пространства линейно зависима. Отсюда вытекает, что понятие линейной зависимости элементов пространства эквивалентно понятию линейной зависимости строк следующей матрицы:

(2.2.6.)

Можно дать новое определение понятия ранга матрицы .

Определение 6. Рангом матрицы называется максимальное число ее линейно независимых строк или столбцов.