§5. Унитарные и нормальные операторы.

1.Понятие унитарного оператора.

Определение 1. Линейный оператор из называется унитарным, если для любых двух элементов справедливо соотношение:

. (5.5.1)

Соотношение (5.5.1) называется условием унитарности оператора .

Замечание 1. Из условия унитарности оператора следует, что

. (5.5.2)

Действительно, так как , то в силу (5.5.1) имеем:

. (5.5.2)

Справедливо утверждение. Если - собственное значение унитарного оператора , то . Действительно, так как - собственное значение оператора , то существует такой элемент , что и . Поэтому имеем:

. (5.5.3)

Так как , то из (5.5.3) следует: .

Теорема 5.17. Для того, чтобы линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве , был унитарным необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:

. (5.5.4)

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть - унитарный оператор. Тогда имеет место равенство (5.5.1):

. (5.5.1)

Используя определение сопряженного оператора, получим:

(5.5.5)

или:

. (5.5.6)

Перепишем равенства (5.5.6) в виде:

(5.5.7)

или

. (5.5.8)

. (5.5.9)

Равенство (5.5.9) выполняется для любых . Фиксируем некоторый элемент , а элемент будем считать произвольным. Тогда, поскольку справедливо равенство (5.5.9), оператор: действует по правилу:

. (5.5.10)

Так как , то

. (5.5.11)

Откуда получим: . Обозначение - означает единичный оператор. Совершенно аналогично доказывается справедливость равенства:

. (5.5.12)

Таким образом: и - взаимообратные операторы. Необходимость доказана.

2). Достаточность. Пусть выполнено условие (5.5.4). Тогда:

. (5.5.13)

Используя определение сопряженного оператора, получим:

, (5.5.14)

т.е. выполнено условие (5.5.1) унитарного оператора . Теорема доказана.

Замечание 2. В процессе доказательства теоремы установлена эквивалентность соотношений (5.5.1) и (5.5.12). Поэтому условие (5.5.12) также будем считать условием унитарности оператора .

2. Понятие нормального оператора.

Определение 2. Линейный оператор называется нормальным, если справедливо соотношение:

. (5.5.15)

Сравнивая условия (5.5.15) и (5.5.12), приходим к выводу, что любой унитарный оператор является нормальным оператором.

Справедливо утверждение.

Лемма 1. Пусть - нормальный оператор. Тогда оператор и оператор имеют общий собственный элемент (вектор) такой, что , и справедливы соотношения:

. (5.5.16)

Доказательство. Пусть - собственное значение оператора и пусть . - ядро оператора , т.е. множество всех элементов таких, что:

. (5.5.17)

Покажем, что если , то и . Действительно:

. (5.5.18)

Другими словами вектор является собственным вектором оператора , отвечающим тому же собственному значению , что и вектор , т.е. .

Далее, рассматривая оператор и учитывая, что каждый линейный оператор имеет собственное значение, можно утверждать, что существует элемент такой, что и справедливы равенства:

и . (5.5.19)

Используя условие и условие (5.5.19), получим:

. (5.5.20)

. (5.5.21)

По определению сопряженного оператора:

. (5.5.22)

Поэтому из (5.5.20) и (5.5.21) получаем: . Лемма доказана.