
- •Глава I. Матрицы и определители.
- •§ 1. Матрицы.
- •§ 2. Определители второго и третьего порядка.
- •§ 3. Определители n-го порядка.
- •§ 4. Теорема о базисном миноре.
- •3. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
- •Глава II. Линейные пространства.
- •§ 1. Понятие линейного пространства.
- •2. Некоторые свойство произвольных линейных пространств.
- •§2. Базис и размерность линейного пространства.
- •2. Базис и координаты.
- •§ 3. Преобразование координат при преобразовании базиса
- •Глава III. Системы линейных уравнений.
- •§ 3.1. Условие совместности линейной системы.
- •§ 2. Различные методы решения систем линейных уравнений.
- •Глава IV. Евклидовы пространства.
- •§1.Вещественное евклидово пространство и его основные свойства.
- •1. Определение вещественного евклидова пространства.
- •§2. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства.
- •2. Свойства ортонормированного базиса.
- •§ 3. Комплексное евклидово пространство.
- •2. Примеры конкретных комплексных евклидовых пространств.
- •Глава V Линейные операторы.
- •§ 1. Понятие линейного оператора и его свойства.
- •§ 2. Матричная запись линейных операторов.
- •§ 3. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
- •2. Основные свойства собственных значений собственных векторов.
- •§ 4. Линейные самосопряженные операторы в евклидовом пространстве.
- •2. Самосопряженные (эрмитовы) операторы.
- •§5. Унитарные и нормальные операторы.
- •1.Понятие унитарного оператора.
- •2. Понятие нормального оператора.
- •3. Основные свойства унитарных и нормальных операторов.
- •§ 6. Канонический вид линейных операторов.
- •Глава VI билинейные и квадратичные формы
- •§ 1. Билинейная форма.
- •§ 2. Квадратичные формы.
- •2. Виды квадратичных форм.
- •§ 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •1. Канонический вид квадратичной формы.
- •§ 4. Закон инерции квадратичных форм.
Міністерство освіти і науки України.
Миколаївський навчально-науковий інститут
Одеського національного університету ім.. І.І. Мечнікова
Миколаївський державний університет ім.. В.О. Сухомлинського
Борчік Є.Ю., Муленко І.О., Тульський В.В.
Лекції з лінійної алгебри
(підручник для студентів фізико-математичних та
технічних спеціальностей вищих навчальних закладів)
Миколаїв – 2007
Глава I. Матрицы и определители.
§ 1. Матрицы.
1. Понятие матрицы. Матрицей называется
прямоугольная таблица чисел, содержащая
некоторое количество
строк и
столбцов. Числа
и
называются порядками матрицы. Если
,
то матрица называется квадратной порядка
.
В дальнейшем для записи матриц будем пользоваться следующими обозначениями:
(1.1.1)
Число
,
стоящее на пересечении
-ой
строки и
-го
столбца матрицы
,
называется элементом матрицы. Элемент
матрицы
характеризуется двумя индексами, первый
из которых
нумерует строки, а второй
- столбцы. В случае квадратной матрицы
вводится понятие главной и побочной
диагоналей матрицы:
. (1.1.2)
Главная диагональ идет из левого верхнего
угла матрицы (1.1.2) в ее правый нижний
угол, главную диагональ образуют
элементы:
.
Побочная диагональ идет из правого
верхнего угла матрицы (1.1.2) в ее левый
нижний угол, побочную диагональ образуют
элементы:
.
Квадратная матрица , все элементы которой, лежащие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется верхней (нижней) треугольной матрицей:
,
-
верхняя и нижняя треугольные матрицы.
Квадратная матрица
,
все элементы которой, лежащие вне главной
диагонали, равны нулю, называется
диагональной:
.
Диагональная матрица, все элементы
которой равны 1, называется единичной
матрицей порядка n:
. (1.1.3)
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Нулевая матрица может и не быть квадратной:
. (1.1.4)
2. Основные операции над матрицами и
их свойства. Матрицы
и
называются равными, если они имеют
одинаковые порядки и их соответствующие
элементы равны между собой:
. (1.1.5)
1). Сложение матриц. Суммой двух
матриц
и
,
одних и тех же порядков
называется матрица
тех же порядков
,
элементы которой равны сумме соответствующих
элементов матриц
и
,
т.е.
:
, (1.1.6)
или в развернутом виде:
. (1.1.7)
Складывать можно только матрицы одинаковых порядков.
2). Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы
,
на вещественное число
называется матрица
,
тех же порядков, что и матрица
,
элементы которой равны:
:
. (1.1.8)
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:
1.
(переместительное свойство).
2.
(сочетательное свойство).
3.
(сочетательное свойство относительно
числового множителя).
4.
(распределительное свойство относительно
суммы матриц).
5.
(распределительное свойство относительно
суммы чисел).
Замечание 1. Разностью двух
матриц
и
одинаковых порядков
называется матрица
тех же порядков
,
которая в сумме с матрицей
дает матрицу
.
Разность двух матриц обозначается
символом:
.
Операция вычисления разности двух
матриц сводится к последовательному
применению операций умножения матрицы
на число и сложения матриц:
.
Поэтому каждый элемент матрицы
равен:
;
. (1.1.9)
3). Перемножение матриц. Произведением
двух матриц
порядков
и
порядков
называется
такая матрица
порядков
,
элементы которой равны:
. (1.1.10)
Из данного определения следует, что перемножать можно не произвольные матрицы, а только такие, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы . Такие матрицы называются согласованными для умножения. После перемножения получается матрица , число строк которой совпадает с числом строк матрицы , а число столбцов – совпадает с числом столбцов матрицы .
Таким образом, из указанного свойства
следует, что даже если определено
произведение матриц
,
произведение матриц
,
взятых в обратном порядке, может быть
и неопределенным. Оба произведения
и
будут иметь смысл лишь для матриц вида
,
.
При этом матрица
будет квадратной матрицей порядка
,
а матрица
- квадратной матрицей порядка
.
Для того, чтобы оба произведения
и
не только были определены, но и имели
одинаковый порядок, необходимо и
достаточно, чтобы матрицы
и
были квадратными матрицами одного и
того же порядка.
Правило составления элементов
матрицы-произведения
определяется формулой (1.1.10). Оно называется
правилом умножения строки на столбец.
Его можно сформулировать следующим
образом: элемент
,
стоящий на пересечении
-ой
строки и
-го
столбца матрицы
,
равен сумме попарных произведений
элементов
-ой
строки матрицы
и элементов
-го
столбца матрицы
.
Пример:
.
Произведение матриц подчиняется следующим свойствам:
6.
- сочетательное свойство.
7.
- распределительное свойство.
8.
- распределительное свойство.
Вопрос о переместительном свойстве
имеет смысл ставить лишь для квадратных
матриц одинакового порядка. Однако,
даже в этом случае ответ на этот вопрос
в общем случае отрицателен. Коммутативный
закон произведения двух матриц в общем
случае не имеет места, т.е. в общем случае
.
Пример:
,
,
,
.
Для любых двух квадратных матриц
и
одинакового порядка можно ввести матрицу
,
называемую их коммутатором и равную:
. (1.1.11)
Если для двух матриц
и
выполняется равенство:
,
то эти матрицы называются коммутирующими.
Коммутатор таких матриц, очевидно, равен
нулю. Матрицу
называют антикоммутатором матриц
и
.
Укажем некоторые частные случаи, когда
две квадратные матрицы являются
коммутирующими. Пусть
- диагональная матрица порядка
,
все диагональные элементы которой равны
между собой:
,
а
произвольная квадратная матрица порядка
.
Тогда справедливо равенство:
.
Пусть теперь
- единичная матрица порядка
,
- произвольная квадратная матрица. Тогда
справедливо соотношение:
. (1.1.12)
Если
- нулевая квадратная матрица порядка
,
то справедливы равенства:
(1.1.13)
Матрицы и играют в матричной алгебре ту же роль, что и числа 1 и 0 в алгебре вещественных чисел соответственно.
Матрица называется противоположной матрице , если:
. (1.1.14)
Противоположную матрицу обозначают
символом:
.
Матрица
называется обратной по отношению к
матрице
,
если справедливо равенство:
. (1.1.15)
Обратную матрицу обозначают символом:
.
Матрица называется транспонированной по отношению к матрице , если для всех элементов этих матриц справедливы равенства:
. (1.1.16)
Транспонированная матрица обозначается
символом:
.
Операция транспонирования матрицы
осуществляется путем замены ее строк
соответствующими столбцами, а столбцов
– строками.
Матрица называется симметричной, если ее элементы, лежащие симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу, т.е. если выполняется равенство:
. (1.1.17)
Если матрица симметрична, то транспонированная матрица совпадает с исходной:
. (1.1.18)
3. Блочные матрицы. Если некоторую матрицу разделить вертикальными и горизонтальными линиями, как это показано на примере:
, (1.1.19)
то каждый из отсеченных прямоугольных
участков будем называть блоком
.
Матрицу
тогда можно представить в виде:
. (1.1.20)
Матрицу вида (1.1.20), элементами которой являются не числа, а блоки чисел , называют блочной.
Арифметические операции над блочными матрицами вполне аналогичны соответствующим операциям над обычными матрицами:
1). Умножение блочной матрицы на
вещественное число:
(
-
число блоков – строк,
-
число блоков-столбцов).
2). Сложение блочных матриц:
.
3). Умножение блочных матриц:
.
В качестве примера применения блочных матриц остановимся на понятии прямой суммы двух квадратных матриц.
Определение 1. Прямой суммой
двух квадратных матриц
порядка
и
порядка
называется квадратная блочная матрица
порядка
,
равная:
. (1.1.21)
Прямая сумма обозначается символом
:
.
Совместное применение операций прямого суммирования, а также обычного сложения и перемножения матриц подчиняются следующим свойствам:
1).
- сумма прямых сумм четырех матриц равна
прямой сумме их сумм.
2).
- произведение прямых сумм четырех
матриц равна прямой сумме их произведений.