2В. Обчислення компонент вектора нев’язки.

;

;

;

/

Отже, для вектор нев’язки дорівнює .

3A. Знаходження наближеної оберненої матриці за методом Гауса.

Скористаємось програмою InteractiveGauss (див. далі відповідну інструкцію користувача). При знаходженні наближеної оберненої матриці за методом Гауса розширену матрицю (1.4.11) замінюємо на розширену матрицю

(1.4.12)

Далі, повністю повторюючи всі кроки, які робилися з матрицею у пункті 2, одержуємо матрицю

.

Тому наближена обернена матриця, яку ми знаходимо за методом Гауса, дорівнює:

(1.4.13)

3B. Знаходження компонент наближеного розв’язку .

,

,

,

.

Тобто, .

3C. Знаходження компонент вектору нев’язки

,

,

,

Отже,

4. Порiвняння знайдених наближених розв’язкiв. Скориставшись програмою NORMVEC знаходимо норми вiдповідних векторiв:

1). Для норми максимуму:

,

.

2). Для квадратичної норми:

,

3). Для iнтегральної норми або норми суми:

,

.

Звідси, для будь-якої норми Тобто, вектор нев’язки найменший при находженні розв’язку за методом Гауса.

5. Знаходження міри обумовленості головної матриці системи.

Для знаходження норм матиць (1.4.10) і (1.4.13) двічі скористаємось програмою NormMatr. Скориставшись формулою , знаходимо (тут беремо ):

,

,

,

8. Знаходження розв’язку заданої системи лінійних рівнянь за допомогою стандартної програми на ЕОМ. Скориставшись програмою Gauss , одержуємо: .

Висновки до лабораторної роботи. Порівнюючи одержані у лабораторній роботі результати, бачимо, що

1. Наближені розв’язки системи лінійних рівнянь, що знайдені різними методами, є різними й тому вони мають різні похибки.

2. Оцінку точності знаходження наближеного розв’язку при невідомій вірній відповіді можна знаходити лише за допомогою порівнянь двох, або більше, векторів нев’язки.

3. Мірою відхилення знайденого наближеного розв’язку від невідомого точного розв’язку є підрахунок деякої норми вектора нев’язки (наприклад, норм , , ).

4. Знання лише наближених векторів розв’язків не дає ніякої можливості оцінки похибки знаходження цього вектора.

5. Знання декількох наближених розв’язків дозволяє лише стверджувати, що той наближений розв’язок, який має менший за величиною вектор нев’язки (у нормі, яку обрано), знайдено більш-менш точніше, ніж інші наближені розв’язки.

6. Вибір іншої норми веде до іншого критерію порівняння наближених розв’язків.

7. У лабораторній роботі при інших рівних умовах менше значення довжини вектора нев’язки дає метод Гауса і лиш потім метод оберненої матриці.

8. Міра обумовленості системи лінійних рівнянь, яка розв’язувалась у лабораторній роботі, найменша для квадратичної норми (біля 11) і удвічі більша (біля 18) для норми максимуму. Для інтегральної норми маємо середню оцінку (біля 13). У будь-якому випадку ця міра обумовленості не є суттєво великою і система лінійних рівнянь, яку ми розв’язували, є досить добре обумовленою, тобто достатньо малі збурення правих частин цієї системи ведуть до малих змін вектора нев’язки. Так як похибки проміжних дій можна розглядати як збурення правих частин при точному розв’язанні системи лінійних рівнянь, то проміжні заокруглення за рахунок дискретності розрядної сітки ЕОМ не ведуть до великих відносних похибок одержуваного наближеного розв’язку.