6.Лабораторна робота TransEq на тему "Розв'язання трансцендентних рівнянь з одним невідомим"

Завдання. По-перше, відокремити корінь рівняння , який має найменшу абсолютну величину серед всіх коренів цього рівняння, і знайти цей корінь з точністю за допомогою методів дихотомії, хорд і дотичних.

По-друге, відокремити корінь рівняння , який має найменшу абсолютну величину серед всіх коренів цього рівняння, представити рівняння в околі кореня, який відокремлюється, у вигляді і знайти цей корінь наближено з точністю за допомогою метода простих ітерацій з зупинками обчислень за числом ітерацій або за величиною поточного кроку.

Хід виконання. Для заданих рівнянь і :

1. Графічно відокремити корені рівняння і провести аналітичну перевірку відокремлення цих коренів. Вибрати інтервал з відокремленим коренем, який є найменший за абсолютною величиною.

2. Провести уточнення цього відокремленого кореня на інтервалі рівняння із заданою точністю за допомогою трьох методів: методу дихотомії, методу хорд і методу дотичних (метод Ньютона). Особливу увагу звернути на одержання заданої точності підрахунків. Для кожного кореня скласти та заповнити розрахункову таблицю і навести обчислення, які підтверджують проведені підрахунки.

3. Графічно відокремити корені рівняння і провести аналітичну перевірку відокремлення коренів. Вибрати один з інтервалів з відокремленим коренем.

4. В околі кореня, який відокремлюється, представити рівняння у нормальному ви­гляді для використання у методі простих ітерацій.

5. Знайти функцію таким чином, щоб коефіцієнт стиску . Якщо , то переробити пункти 3-5, таким чином, щоб .

6. Підрахувати число ітерацій для зупинки обчислень за кількістю ітераційних кроків і величину кроку для зупинки за величиною поточного кроку. Обрати момент зупинки метода простих ітерацій.

7. Побудувати ітераційну схему метода простих ітерацій (стартове значення, ітераційний крок, момент зупинки).

8. Скласти та заповнити розрахункову таблицю метода простих ітерацій для уточнення відокремленого кореня.

9. Оформити звіт і захистити лабораторну роботу.

Теоретичні питання

1. Умови існування і єдиності кореня нелінійного рівняння від однієї змінної на заданому інтервалі.

2. Оцінка похибки обчислень для будь-якого ітераційного метода, яка використовує модулі функції ті її похідну.

3. Метод дихотомії (ділення навпіл). Умови використання методу дихотомії. Знаходже­ння похибки підрахунків кореня за методом дихотомії.

4. Метод хорд. Умови використання методу хорд. Знаходження похибки підрахунків кореня. Ітераційна схема метода хорд (вибір стартового значення, ітераційний крок, момент зупинки підрахунків).

5. Метод дотичних (метод Ньютона). Умови використання методу дотичних. Знаходже­ння похибки підрахунків кореня. Ітераційна схема метода дотичних.

6. Нерівність Ліпшиця. Стискуюче відображення і коефіцієнт стиску.

7. Фікспункти (нерухомі точки). Загальна теорема про існування фікспунктів у стискуючих відображеннях.

8. Оцінка похибки підрахунків на деякому кроці ітераційної схеми.

9. Число ітерацій , що дають бажану точність є підрахунків.

10. Оцінка величини поточного кроку , для якого буде досягнута бажана точність підрахунків.

11. Метод простих ітерацій. Ітераційна схема методу простих ітерацій.