7.Лабораторна робота NonLinSys на тему „Розв’язання систем нелінійних рівнянь”

Завдання. Графічно відокремити розв’язки системи двох нелінійних рівнянь з двома невідомими і наближено знайти ці розв’язки з точністю ε = 0.001 за методом Ньютона.

Хід виконання. Для заданої системи здійснити наступні дії:

А) Відокремити графічно розв’язки цієї системи, знаходячи точки перетину відношень і на площині, кожне з яких локально можна записати як деякі функції від і від . Знайти початкові (стартові) наближення { , }.

Б) Уточнити один відокремлений розв’язок за методом Ньютона. Для цього:

1. Знайти якобіан .

2. Скласти ітераційну схему двовимірного метода Ньютона, тобто

а) Вибрати стартове наближення { , };

б) Записати ітераційний крок: по-перше, розв’язати систему лінійних рівнянь (наприклад, за методом Гауса) відносно невідомих . Ця система лінійних рівнянь має матричний вигляд:

,

де - головна матриця системи, і, по-друге, знайти нове наближення за формулами .

в) Вибрати момент зупинки (за числом ітерацій N або за величиною поточного кроку , де - вибрана раніше векторна норма).

3. Провести обчислення трьох ітерацій без використання програми на ЕОМ. Обчислення звести в таблицю Таблиця 1 (з наступними графами: Графа 1 – Номера ітерацій k; Графи 2,3 – наближення розв’язку на попередній ітерації; Графи 4,5 – прирости на поточному кроці; Графи 6,7 – нове наближення розв’язку , що одержано на k-й ітерації).

4. Написати на мові програмування Turbo Pascal власну програму Newton2d знаходження розв’язків системи нелінійних рівнянь за методом Ньютона або скористатись тією, що наведена у допоміжних матеріалах до лабораторної роботи. При цьому праві частини , , , , , потрібно реалізувати у окремому модулі (як тексти відповідних функцій) і процес ітерацій виводити в окремий текстовий файл.

5. Провести уточнення розв’язку, що відокремлений, за допомогою програми Newton2d для ітерацій.. Порівняти результати таблиці 1 з підрахунками на ЕОМ.

6. Оформити звіт і захистити лабораторну роботу.

Теоретичні питання

1. Простір Rⁿ. Норма в Rⁿ. Приклад норм (m-норма, l-норма, k-норма).

2. Перетворення або . Якобіан перетворення .

3. Система нелінійних рівнянь у -вимірному просторі. Багатовимірний ітераційний метод Ньютона.

4. Умови збіжності метода Ньютона.

5. Системи лінійних рівнянь нормального вигляду у -вимірному просторі, де . Нерухомі точки (фікспункти) відображення .

6. Нерівність Ліпшиця для відображення . Стискуючі перетворення. Коефіцієнт стиску.

7. Головна теорема про розв’язок системи лінійних рівнянь нормального виду , де - стискуюче відображення.

8. Метод простих ітерацій у -вимірному просторі. Відповідна ітераційна схема.

Приклад виконання роботи NonLinSys

Лабораторна робота TrancEq на тему “Розв’язання трансцендентних рівнянь з двома невідомими”.

Варіант 31. Виконав студент групи БІТ-04, Павлік Олексій Васильович. Дата виконання: 05.11.2003

Завдання. Графічно відокремити розв’язки системи нелінійних рівнянь з двома невідомими і уточнити будь-який один з них за методом Ньютона.

Виконання роботи.

Відокремлення коренів системи рівнянь. Перше рівняння записуємо у вигляді , друге – у вигляді . Будуємо (креслення відповідних графіків залишаємо студентові) на одному малюнку ці два відношення як два графіка: перший - як функцію від , другий - як функцію від . Графічно бачимо, що один з наближених розв’язків розташовано біля точки . Тому беремо цю точку за початкове наближення:

Зауваження. На жаль, якщо ви помилились при побудові графіків, то знайдене стартове наближення не буде отримане. Треба бути уважним при побудові графіків тому, що єдиною можливістю перевірки вірності побудови є збіжність ітераційного процесу.

1. Уточнення відокремленого кореня за методом Ньютона без використання ЕОМ. Отже, графічно нами були знайдені стартові значення: для системи : Переходимо до виконання ітераційних кроків.

Крок 1. Підраховуємо значення функцій лівих частин і їх похідних в стартовій (нульовий) точці:

.

Тому маємо якобіан і для приростів і систему лінійних рівнянь .

За формулами Крамера: ,

,

.

Тому знаходимо наступне наближення:

.

.

Так як умови , не виконані, то обчислення продовжуємо.

Крок 2. Підраховуємо значення функцій лівих частин і їх похідних в наступній (першій) точці:

.

Тому маємо якобіан і для приростів і - систему лінійних рівнянь .

За формулами Крамера: ,

Тому ,

.

Так як умови , не виконані, то продовжуємо обчислення.

Крок 3. Підраховуємо значення функцій лівих частин і їх похідних в наступній (другій) точці:

Тому маємо якобіан і для приростів і систему лінійних рівнянь .

За формулами Крамера : ,

,

.

Тому ,

Так як умови , виконані , то обчислення завершуємо .

Зведемо пiдрахунки у таблицю .

Таблиця 1.