Варіанти індивідуальних завдань до роботи EvalExpr
.
2.Лабораторна робота DetKram на тему “Розв’язання слр за формулами Крамера”
Завдання. Для даної системи лінійних рівнянь (СЛР) знайти розв’язок за допомогою формул Крамера. Провести перевірку знайденого розв’язку.
Хід виконання. Для заданої системи лінійних рівнянь:
Записати СЛР у вигляді розширеної матриці системи.
Знайти головний та допоміжні визначники і знайти розв’язок СЛР за допомогою формул Крамера. Виконати перевірку знайденого розв’язку.
Знайти розв’язок СЛР з цілими коефіцієнтами за допомогою стандартної програми на ЕОМ або написати власну програму розв’язання.
Оформити звіт та захистити лабораторну роботу.
Теоретичні питання
Лінійний векторний простір. Аксіоми лінійного векторного простору.
Лінійна оболонка, лінійна залежність і незалежність системи векторів.
Базис системи векторів. Базис лінійного простору. Розмірність лінійної оболонки і розмірність векторного простору.
Зв'язок між матрицями змін базисів і матрицями змін координат.
Ранг системи векторів. Методи знаходження рангу системи векторів.
Рядковий і стовпцевий ранги матриць. Ранг матриці. Знаходження рангу матриці за методом обвідних (рос. окаймляющих) визначників.
Система лінійних рівнянь. Головна та розширена матриці системи. Сумісність і несумісність СЛР. Теорема Кронекера-Капелі.
Однорідна і неоднорідна СЛР. Лінійний простір розв’язків одорідної системи. Структура множини розв’язків неоднорідної СЛР.
Головний і допоміжні визначники квадратної СЛР. Формули Крамера. Необхідні та достатні умови використання формул Крамера.
Приклад виконання роботи DetKram
Лабораторна робота DetKram на тему “Знаходження точних розв’язків СЛР за формулами Крамера”
Варіант 33. Виконав студент групи БІТ-3-05 Петров Олексій Васильович. Дата виконання: 05.10.2005.
Завдання. Розв’язати систему лінійних рівнянь
(1.2.1)
За допомогою формул Крамера. Провести перевірку знайденого розв’язку.
Виконання роботи. Систему (1.2.1) можна записати у матричному вигляді:
(1.2.2)
або
,
де
вектор-рядок невідомих,
вектор-рядок правої частини,
- головна матриця системи. Тут через
позначаємо
операцію побудови транспонованої
матриці (
).
1.Знаходження головного та допоміжних визначників.
,
,
,
,
,
.
Використовуючи додаток Windows InteractiveDet, одержуємо:
,
,
,
,
,
2.
Знаходження вектора розв'язку за
формулами Крамера. Головний
визначник
.
Тому система (1.2.1) сумісна і існує єдиний
її розв'язок. За формулами Крамера
маємо:
,
,
,
,
.
3.
Перевірка знайденого вектора розв'язку.
Перевірку знайденого вектора розв'язку
здійснюємо підстановко знайдених
значень невідомих у ліві частини рівнянь
системи і
одержання значень правих частин. При
маємо:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Отже, праві частини рівнянь системи дорівнюють лівим частинам. Тому дійсно є розв'язком системи (1.2.1). Перевірка здійснена.
Висновки до лабораторної роботи. Точні розв'язні CЛP з цілими коефіцієнтами можуть бути числами не цілими, але, як це бачимо з формул Крамера, є завжди дробові числа. При перевірці одержаного розв'язку потрібно вести точні (без заокруглювань) підрахунки з дробами (у вигляді чисельник/знаменник), щоб одержати при підстановці точні рівності правих і лівих частин СЛР.