Теоретичні питання

1. Нормальний вигляд СЛР. Зведення СЛР до нормального виду.

2. Нерівність Ліпшиця. Стискуючі відображення. Коефіцієнт стиску.

3. Принцип стискуючих відображень.

4. Метод простих ітерацій. Ітераційна схема метода простих ітерацій.

5. Оцінка похибки і умови збіжності метода простих ітерацій..

6. Метод Зейделя. Ітераційна схема метода Зейделя.

7. Оцінка похибки та умови збіжності метода Зейделя.

Приклад виконання роботи LinSysIt

Лабораторна робота LinSysIt на тему “Ітераційні методи розв’язання СЛР”.

Варіант 33. Виконав студент групи БІТ3-05, Неров Віктор Васильович. Дата виконання : 05.11.2005

Завдання. Розв’язати СЛР:

(1.5.14)

за методом простих ітерацій і методом Зейделя з урахуванням заданої точності розрахунків ε = 0.001.

Виконання роботи.

1. Перетворення системи до нормального вигляду. Для кожного ді-лимо j рядок системи на діагональний елемнт

(1.5.15)

Звідси одержуємо СЛР у нормальному вигляді

(1.5.16)

Або, у матричній формі

(1.5.17)

де ,

(1.5.18)

2. Вибір векторної норми і знаходження коефіцієнта стиску. Скористаємось програмою NormMatr. Після її виконання маємо: , , . Всі ці норми менше одиниці. Тому можна вибрати будь-яку векторну норму з цих норм. Але зручно вибрати ту векторну норму, для якої відповідна підлегла норма матриці буде найменшою. Тому виберемо векторну m-норму , для якої коефіцієнт стиску дорівнює .

3. Побудова ітераційної схеми. Система (1.5.16) дає можливість легко ввести насту­пну ітераційну схему метода простих ітерацій.

(1.5.19)

4. Вибір початкового наближення. Як початкове наближення можна вибрати будь-який вектор. Виберемо, як початковий, нульовий вектор . При цьому (вектор правої частини СЛР). Скориставшись програмою NormVect, одержуємо

5. Вибір моменту зупинки. Виберемо зупинку обчислень за кількістю ітерацій, яку знайдемо з оцінки

(1.5.20)

звідси знаходимо число N ітерацій, що забезпечують задану точність є = 0.001:

.

Тому для обчислень використовуємо арифметичний цикл for і здійснимо зупинку обчислень за числом ітерацій .

6. Знаходження наближеного розв'язку за методом простих ітерацій. Скори-стаємось програмою SysIter. Після її виконання одержуємо (зупинка після 38 ітерацій).

7. Побудова ітераційної схеми для методу Зейделя З системи (1.5.16) для методу Зейделя одержуємо наступну ітераційну схему.

(1.5.21)

8. Вибір початкового наближення для методу Зейделя. Як початкове наближе-ння можна, як у методі простих ітерацій, вибрати будь-який вектор. Ми виберемо, як початковий, нульовий вектор .

9. Вибір моменту зупинки виконання ітераційного процесу для методу Зейделя. Як доведено у книзі [7, стор.320-328] (перша, друга та третя достатні умови збіжності метода Зейделя) при виконанні умови для деякої підлеглої норми матриці В процес ітерацій за методом Зейделя завжди є збіжним. Більш того, при виконанні нерівності ітераційна схема методу Зейделя породжується стискуючим відображенням з коефіціентом стиску з відповідними оцінками похибок. Тому, як у методі простих ітерацій, вірна формула

(1.5.22)

Звідси випливає критерій, зупинки ітераційного процесу x^(k) за кроком

(1.5.23)

10. Знаходження наближеного розв'язку за методом Зейделя. Скористаємось програмою Zeidel. Після її виконання (з зупинкою за кроком і точністю ),одержуємо при кількості ітерацій 7. Тому , у границях похибки

Висновки до лабораторної роботи.

1. Ітераційні методи можна застосовувати не до всіх СЛР, а тільки до лінійних систем, яки можна звести до виду , де матриця В має хоча б одну підлеглу норму меншу одиниці .

2. При зупинці за числом ітерацій потрібна точність звичайно досягається раніше вказаного числа ітерацій.

3. Умови збіжності ітераційного процесу за методом Зейделя інші ніж у метода простих ітерацій, тобто області збіжності методів простої ітерації і Зейделя лише перетинаються. Але, як це доведено у книзі [9, стор.320-328] при виконанні умови для деякої підлеглої норми матриці B процес ітерацій за методом Зейделя є завжди збіжним. Наприклад, для m-норм (норми ) метод Зейделя є збіжним зі швидкістю геометричної прогресії з коефіцієнтом .