Теоретичні питання.

1. Власні вектори квадратної матриці.

2. Знаходження власних векторів різними методами (Данилевського,. Крилова, за означенням).

3. Система лінійних рівнянь для знаходження компонент власного вектора.

4. Використання методу обвідних мінорів для знаходження компонент власних векторів (знаходження лінійно незалежних рівнянь із відповідної системи лінійних рівнянь і тих компонент власного вектора, яки будуть вважатись незалежними і яки породжують власний підпростір).

Приклад виконання роботи SelfVect

Лабораторна робота SelfVal на тему “Знаходження характеристичного полінома, власних чисел і власних векторів квадратної матриці”.

Варіант 31. Виконав студент групи БІТ1-01, Довгий Олексій Вікторович. Дата виконання: 15.2.2005.

Завдання. Знайти власні значення і власні вектори квадратної матриці

за будь-яким методом (Данилевського, Крилова Левер'є,) або з використанням методу обвідних визначників.

Виконання роботи

1. Розвинення характеристичного визначника. Знайдемо характеристичний визначник матриці (1.8.33) за методом Левер'є з використанням формул Ньютона і властивостей слідів матриць.

2. З матриці (1.8.33) знаходимо , .

3. Знаходимо квадрат матриці :

.

За допомогою цього квадрату матриці знаходимо

, .

4. Знаходимо куб матриці А:

, ,

Тому

Отже, знайдені значення коефіцієнтів характеристичного полінома , тобто

(1.8.34)

Перевірка:

що відрізняється від лише знаком.

5. Знаходження всіх дійсних власних значень матриці А. Знайдемо всі власні значення матриці А, тобто корені характеристичного полінома .

Так як поліном є непарного степеня, то він завжди має хоча б один дійсний корінь. Спочатку шукаємо цілі розв'язки цього рівняння. За теорією всі цілі розв'язки алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом рівним одиниці є дільниками вільного коефіцієнта. Тому єдиними можливими цілими коренями рівняння можуть бути значення . Безпосередня перевірка дає:

,

,

, тобто- корінь рівняння.

Тому характеристичний визначник ділиться на . Здійснивши це ділення, отримаємо представлення: . Так як квадратне рівняння має корені і , то характеристичне рівняння має три кореня, розташовані за зростанням: .

6. Знаходження власного вектора матриці А, що відповідає власному числу . При отримуємо вироджену характеристичну систему лінійних рівнянь у вигляді системи рівнянь . Для розв'язання цієї системи треба за методом обвідних визначників знайти ранг системи і тій визначние, який визначає цій ранг. У випадку, що розглядається, ранг дорівнює 2 і визначається визначником (те, що випливає з означення власного вектора). Для розв'язання системи можна видалити рівняння, коефіцієнти якого не належать до визначника, з допомогою якого визначено ранг системи, і знаходити невідомі з системи через невідомі, коефіцієнти яких не містяться в цьому визначнику. Отже, можна відкинути останнє рівняння і розв'язувати систему відносно невідомих і , тобто . Тому, , . Якщо тут вибрати , то отримаємо власний вектор .

Перевірка: .

Отже, знайдені власне значення і власний вектор .

Висновки до лабораторної роботи. Нами знайдені дійсний корінь характеристичного рівняння та його власний вектор .