- •Математичні моделі в сапр: методичні вказівки до лабораторних робіт
- •Передмова до методичних вказівок
- •1.Лабораторна робота EvalExpr на тему "Знаходження похибок обчислень"
- •Теоретичні питання.
- •Приклад виконання роботи EvalExpr
- •Варіанти індивідуальних завдань до роботи EvalExpr
- •2.Лабораторна робота DetKram на тему “Розв’язання слр за формулами Крамера”
- •Теоретичні питання
- •Приклад виконання роботи DetKram
- •Варіанти індивідуальних завдань до роботи DetKram
- •Допоміжні матеріали до роботи DetKram Інструкція користувачу до додатку InteractiveDet
- •Приклад змісту вхідного файла Det.Inp:
- •Вихідні файли програми.
- •Натискання клавіші “Введення з файлу”.
- •Натискання клавіші “Зменшити у рядку”.
- •Натискання клавіші “Зменшити у стовпці”.
- •Натискання клавіші “Зменшити розміри”.
- •Завершення роботи додатку.
- •3.Лабораторна робота InvMatr на тему “Розв’язання слр за методом оберненої матриці”
- •Теоретичні питання
- •Приклад виконання роботи InvMatr
- •Варіанти індивідуальних завдань до роботи InvMatr
- •Допоміжні матеріали до роботи InvMatr Програма AdjMatr
- •Інструкція користувачу до додатку InteractiveAdjMatr
- •4.Лабораторна робота Gauss на тему „Наближене розв`язання слр методами виключення невідомих”
- •Теоретичні питання
- •Приклад виконання роботи Gauss
- •2В. Обчислення компонент вектора нев’язки.
- •3A. Знаходження наближеної оберненої матриці за методом Гауса.
- •3B. Знаходження компонент наближеного розв’язку .
- •3C. Знаходження компонент вектору нев’язки
- •5. Знаходження міри обумовленості головної матриці системи.
- •Варіанти індивідуальних завдань до роботи Gauss
- •Додаткові матеріали до роботи Gauss Програма NormVect знаходження різних норм вектора
- •Програма NormMatr знаходження різних норм матриці
- •Процедура g3v33l4
- •Модуль GaussRow
- •Iнструкцiя користувачу до програми InteractiveGauss
- •5.Лабораторна робота LinSysIt на тему “Ітераційні методи розв’язання слр”
- •Теоретичні питання
- •Приклад виконання роботи LinSysIt
- •Варіанти індивідуальних завдань до роботи LinSysIt
- •Допоміжні матеріали до роботи LinSysIt Програма NormForm
- •Програма SysIter
- •Програма Zeidel
- •6.Лабораторна робота TransEq на тему "Розв'язання трансцендентних рівнянь з одним невідомим"
- •Теоретичні питання
- •Приклад виконання роботи TransEq
- •Розрахункова таблиця знаходження кореня
- •Розрахункова таблиця знаходження кореня
- •Розрахункова таблиця знаходження кореня
- •Уточнення відокремленого кореня за методом простих ітерацій.
- •Розрахункова таблиця знаходження кореня рівняння за методом простих ітерацій
- •Розрахункова таблиця знаходження кореня рівняння за методом простих ітерацій
- •Варіанти індивідуальних завдань до роботи TransEq
- •Додаткові матеріали до роботи TransEq Інструкція користувачу для роботи з додатком TranscEq
- •Робота з додатком TranscEq
- •7.Лабораторна робота NonLinSys на тему „Розв’язання систем нелінійних рівнянь”
- •Теоретичні питання
- •Приклад виконання роботи NonLinSys
- •Розрахункова таблиця знаходження роз'вязку
- •Варіанти індивідуальних завдань до роботи NonLinSys
- •Допоміжні матеріали до роботи NonLinSys Інструкція користувачу для роботи з програмою Newton2
- •Текст програми Newton2
- •Текст модуля Funct
- •Текст модуля NewtonS
- •8.Лабораторна робота SelfEq на тему ”Знаходження характеристичного рівняння”
- •Теоретичні питання
- •Приклад виконання роботи SelfEq
- •Варіанти індивідуальних завдань до роботи SelfEq
- •9.Лабораторна робота SelfVect на тему “Знаходження власних векторів”
- •Теоретичні питання.
- •Приклад виконання роботи SelfVect
- •Варіанти індивідуальних завдань до роботи SelfVect
- •Література
Уточнення відокремленого кореня за методом простих ітерацій.
6.1. Представлення рівняння у нормальному вигляді. Представимо рівняння у нормальному вигляді тобто виберемо
6.2. Знаходження коефіцієнту стиску. Використовуючи додаток TrancsEq, одержуємо Так як , то ітераційний процес буде збіжним.
6.3. Побудова ітераційної схеми.
Старт. Як початкове (стартове) наближення можна вибрати будь-яке число. Виберемо число .
Ітераційний крок. Для заданого рівняння маємо
(1.5.28)
Момент зупинки. Зупинку ітераційного процесу для стискаючого відображення можна здійснювати як за числом ітерацій , так і за величиною поточного кроку
6.4. Підрахунок числа ітерацій, яке забезпечить досягнення заданої точності. Для метода простих ітерацій для стискаючого відображення з коефіцієнтом стиску вірна наступна оцінка похибки го наближення :
. (1.5.29)
Тому для числа – числа ітерацій, яке забезпечить досягнення заданої точності підрахунків, маємо формулу
, (1.5.30)
де - величина першого кроку і - єдиний корінь (фікспункт) рівняння , (тобто ).
Ця формула дає нам момент зупинки за числом ітерацій: для досягнення заданої точності потрібно виконати ітераційних кроків.
У нашому випадку
і . Обчислення зведемо у таблицю.
Таблиця 4.
Розрахункова таблиця знаходження кореня рівняння за методом простих ітерацій
(зупинка за числом ітерацій)
-
1
2
3
4
1
1.04720
0.00000
1.04720
2
0.77958
1.04720
0.26761
3
0.86326
0.77958
0.08367
4
0.83858
0.86326
0.02468
5
0.84599
0.83858
0.00741
6
0.84377
0.84599
0.00221
7
0.84443
0.84377
0.00066
8
0.84424
0.84443
0.00020
9
0.844295
0.84424
0.000059
10
0.844278
0.844295
0.000018
11
0.844283
0.844278
0.000005
Зупинка обчислень – за числом ітерацій . Як наближене значення кореня беремо число з графи 11 рядка 1, тобто,
6.5. Підрахунок величини поточного кроку , яке забезпечить досягнення заданої точності. Якщо в оцінці (1.5.28) вибрати за “нульовий крок” наближення і за наступне (“перше”) наближення , то одержуємо
(1.5.31)
Звідси, якщо виконана умова
, (1.5.32)
то і потрібна точність є досягнутою. У нашому випадку Обчислення зведемо у таблицю.
Таблиця 5.
Розрахункова таблиця знаходження кореня рівняння за методом простих ітерацій
(зупинка за поточним кроком)
-
n
1
2
3
4
1
1.04720
0.00000
1.04720
2
0.77958
1.04720
0.26761
3
0.86326
0.77958
0.08367
4
0.83858
0.86326
0.02468
5
0.84599
0.83858
0.00741
6
0.84377
0.84599
0.00221
7
0.84443
0.84377
0.00066
Зупинка за графою 4 (у рядку 7 маємо ). Як наближене значення кореня беремо число з графи 7 рядка 1, тобто, .
Висновки до лабораторної роботи. Отже, ми знайшли, що із заданою точністю рівняння має найменший за абсолютною величиною корінь х =-1.256 ± 0.001, а рівняння має найменший за абсолютною величиною корінь х = 0.844 ± 0.001.