4.Лабораторна робота Gauss на тему „Наближене розв`язання слр методами виключення невідомих”

Завдання: Розв'язати наближено СЛР за методом Гауса. Знайти відповідний наближений розв'язок. Знайти міри обумовленості СЛР для трьох векторних норм (норми максимуму, квадратичної та інтегральної норми).

Хід виконання. Дня заданої СЛР:

Записати її у матричному виді. Знайти головну та розширену матриці СЛР.
Розв'язати наближено СЛР за допомогою метода Гауса. Нехай - відповідний наближений розв'язок і - відповідний вектор нев'язки.
Знайти за методом Гауса наближену обернену матрицю і розв'язок СЛР. Нехай — відповідний наближений розв'язок і відповідний вектор нев'язки.
Порівняти знайдені наближені розв'язки за допомогою відповідних векторів нев'язок
Знайти міри обумовленості головної матриці системи для різних векторних норм (норми максимуму, квадратичної та інтегральної норм).
Знайти розв'язок СЛР за допомогою стандартної або за допомогою власної програми. Порівняти цей розв'язок з попередніми розв'язками.
Оформити звіт та захистити лабораторну роботу.

Теоретичні питання

Метод Гауса розв’язання СЛР. Головний та ведучий елементи у методах Гауса.
Нев'язка наближеного розв'язку та її використання.
Знаходження оберненої матриці за методом Гауса або Жордана-Гауса.
Знаходження рангу матриці за методом Гауса.
Норма вектора, та її властивості. Приклади векторних норм (норма максимуму, квадратичної та інтегральної норми).
Норма матриці та її властивості. Підлегла норма матриці. Приклади підлеглих норм матриць (для норми максимуму, квадратичної та інтегральної норм).
Погана обумовленість квадратних матриць і СЛР.

Приклад виконання роботи Gauss

Лабораторна робота Gauss на тему „Наближене розв`язання СЛР методами виключення невідомих”

Варіант 33. Виконав студент групи БІТ1-05, Усіков Микита Юрійович. Дата виконання: 15.10.2006.

Завдання. Розв’язати систему лінійних рівнянь

(1.4.9)

за методом Гауса. Знайти наближену обернену матрицю до головної матриці системи за методом Гауса і за допомогою цієї матриці знайти відповідний наближений розв'язок. Порівняти одержані наближені розв’язки за допомогою відповідних векторів нев'язок та знайти міри обумовленості системи для трьох векторних норм (норми максимуму, квадратичної та інтегральної норми).

Виконання роботи.

1. Знаходження розширеної матриці системи. Додаючи до головної матриці системи (1.4.9)

(1.4.10)

вектор-стовпець з правих частин, одержуємо розширену матрицю системи (1.4.9):

(1.4.11)

2. Знаходження наближеного розв'язку системи за методом Гауса. Скористуємось програмою InteractiveGauss (див. далі відповідну інструкцію користувача), у якій реалізовано алгоритм Гауса з обранням головного елементу серед елементів поточного стовпця під головною діагоналлю. При цьому виберемо (число знаків після коми, які потрібно залишити при заокругленні). Відповідний вхідний файл Gauss.inp буде мати вигляд: