Вопрос 19. Итегрирование рациональных дробей

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов: 1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение. 2.Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений; 3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов; 4.Вычислить интегралы от простейших дробей.

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочлен P(x) на Q(x). Получим следующее выражение:

где - правильная рациональная дробь.

Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби

Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

.

Общее число неопределенных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x). Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих формул: 1. 2. У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:

Вопрос 20. Разложение рациональной дроби на простейшие.

Пусть знаменатель правильной рациональной дроби может быть представлен в виде (множителей вида может быть несколько), где - заданные числа трёхчлен не имеет действительных корней. Тогда представляется в виде суммы простейших дробей 1-3 типов:

где

-неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя к Примеры:

1)

Правильную рациональную дробь под интегралом представим в виде суммы простейших.

(16.1)

Первый метод — метод неопределенных коэффициентов — заключается в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях х в (16.1)

Второй метод (частных значений) заключается в подстановке значений х в (16.1), в первую очередь, корней знаменателя.

Вопрос21 Интегрирование иррациональных выраж. Дробно- линейные иррациональности.

Пусть R(u,v) - рациональная функция двух переменных. Покажем, что вычисление интеграла вида R(x,²ax+b/²cx+d)dx, где n - натуральное число, a, b, c, d - вещественные чис­ла, сводится к вычислению интеграла от рациональной функции. Для этого сделаем замену t=ⁿax+b/²cx+d.

Тогда x=dtⁿ–b/a–ctⁿ, dx=(ad–bc)nt^n-1dt/(a–ctⁿ)². Поэтому R(x,²ax+b/²cx+d)dx=R(dtⁿ–b/a–ctⁿ, t)((ad–bc)nt^n-1 dt/(a–ctⁿ)²)dt. Интеграл в правой части равенства есть интеграл от рацио­нальной функции