Вопрос 29. Понятие диф ур-я, основные определения.

ДУ называют ур-ие, связывающее искомую ф-ию одной или нескольких переменных, эти переменные, и производные различных порядков данной ф-ии.

Решением ДУ называется такая ф-ия, которую при подстановке её в это ур-ие обращает его в тождество.

ДУ первого порядка наз. ур-ие содержащее переменную х, неизвестную ф-ию y=f(x) и её производную y`=f`(x)

ДУ первого порядка наз. ур-ем с разделяющимися переменными, если оно м/б представлено в виде

dy/dx=f(x)g(y)

Для решения такого ур-ия его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и ф-ии переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного рав-ва:

dy/g(y)=f(x)·dx → ∫ dy/g(y)=∫ f(x)·dx

дифф ур. Осн понятия.

Общий вид диф уравнения F(x, y, y’)=0 y’=f(x,y) (1).

Решением дифференциальное уравнение первого порядка наз-тся всякая функция y=(x), которая будучи подставлена в данное уравнение обращает его в тожд.

’(x)= f (x, (x)); Задача Коши для диф. ур 1пор.

Требуется найти решение диф. ур-я (1) удовлетворяющего следующему условию (2). Теорема Коши. Пусть задана на плоскости XOY некоторая обл. Д и задано диф. ур-е разрешённое относительно производной, тогда если функция f(x, y) и её частная производная непрерывны в обл. Д, и некоторая фиксированная точка обл. Д, то существует и единственная функция y=(x) являющаяся решением (1) и такая, которая в т. принимает значение , т.е. уд-щая зад нач условию . Т.е. если существует решение диф. ур-я, то таких решений беск мн-во. График функции явл-ся решением диф. ур-я принято называть инт кривой, процесс реш-я – инт-нием. Точку в плоскости XOY называют особой точкой диф. ур-я если в этой т. не выполняется условие теоремы Коши, т.е. особая т. это такая т. через которую может вообще не проходить ни одной интегральной кривой, либо проходить множество. Решения диф. ур-я в каждой т. которого нарушается условие единственности из теоремы Коши, принято называть особым решением диф. ур-я. График особого решения называется особой кривой. Определение общего решения диф. ур-я 1 порядка:б Функция y=(x, C), где С произвольная константа, называется общим решением диф. ур-я (1) если выполнены следующие условия:

1. Функция y=(x, C) является решением ур-я (1) при любом значении произвольной константы С;

2. Какова бы ни была т.  Д найдётся такое значение произвольной константы , что функция y=(x, ) удовлетворяет заданному начальному условию, т.е. 

Вопрос 30, Задача Коши для диф. Ур 1пор.

Требуется найти решение диф. ур-я (1) удовлетворяющего следующему условию (2). Теорема Коши. Пусть задана на плоскости XOY некоторая обл. Д и задано диф. ур-е разрешённое относительно производной, тогда если функция f(x, y) и её частная производная непрерывны в обл. Д, и некоторая фиксированная точка обл. Д, то существует и единственная функция y=(x) являющаяся решением (1) и такая, которая в т. принимает значение , т.е. уд-щая зад нач условию . Т.е. если существует решение диф. ур-я, то таких решений беск мн-во. График функции явл-ся решением диф. ур-я принято называть инт кривой, процесс реш-я – инт-нием. Точку в плоскости XOY называют особой точкой диф. ур-я если в этой т. не выполняется условие теоремы Коши, т.е. особая т. это такая т. через которую может вообще не проходить ни одной интегральной кривой, либо проходить множество. Решения диф. ур-я в каждой т. которого нарушается условие единственности из теоремы Коши, принято называть особым решением диф. ур-я. График особого решения называется особой кривой. Определение общего решения диф. ур-я 1 порядка:б Функция y=(x, C), где С произвольная константа, называется общим решением диф. ур-я (1) если выполнены следующие условия:

3. Функция y=(x, C) является решением ур-я (1) при любом значении произвольной константы С;

4. Какова бы ни была т.  Д найдётся такое значение произвольной константы , что функция y=(x, ) удовлетворяет заданному начальному условию, т.е. 

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

Свойства общего решения.

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х₀, у(х₀) = у₀ существует такое значение С = С₀, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = (х, С₀).

Определение. Решение вида у = (х, С₀) называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение (х₀) = у₀, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.