Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Matan_obshy.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
23.09.2019
Размер:
896.63 Кб
Скачать

f(x)

F(x)

1)sinx.dx

dx

1)d(-cosx)

2)d

3)dlnx

  1. Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла.

Опр.1 Если (x)=f(x) на множестве x, для любого X, то F(x)-называется первообразной функции f(x). Лемма: Если f(x), равняется 0 на некотором интервале, то F(x)=C на этом интервале. Теорема: Если F(x) - первообразная для f(x) на X, а другая первообразная, то

Опр.2. Множество всех первообразных функции, называется неопределенным интегралом.

  1. Оснновные свойства неопределенных интегралов.

А) .

Б)

В)

Г) .

3. Таблица основных интегралов.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16) +c;

17)

  1. Непосредственное интегрирование.

Использование свойств интеграла и таблицы.

  1. Метод подстановки

Замена под знаком интеграла.

Теорема: Если то

Док-во.

Пример:

  1. Метод интегрирования по частям. Циклические интегралы.

Если существует первообразная для UV и V , то существует интеграл

Циклические интегралы:

( ; ) – принимаются за U.

  1. Интегрирование рациональных дробей.

P и Q – многочлен, причем n – старшая степень, m – это старшая степень знаменателя. Опр.1.Если n , то дробь называется неправильной, необходимо поделить числитель на знаменатель и выделить целую часть.

Существует теорема, утверждающая, что любой многочлен можно представить в виде: где: - главный коэффициент при Х; - корни многочлена; Опр.2. Если n<m, то дробь правильная. Для того, чтобы проинтегрировать правильную дробь, многочлен в знаменателе раскладывают на множители. После чего, подынтегральную функцию раскладывают на элементарные дроби, для этого используют метод неопределенных коэффициентов.

8) Интегрирование тригонометрических функций.

I.

II.

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени:

III. Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

Примеры:

IV. или dx

Замена : tgx=t или ctgx=t

= = = = = + C = - + C

V. Универсальная тригонометрическая подстановка.

sinx = , cosx = , подстановка = t

dx = = = t+C = tg +C

VI.

,

(2) sinxdx = tgx = =

I = – I +

2I = +

I = +

9) Интегрирование иррациональных уравнений.

I. , замена “a”: ax+b-

Пример:

dx = = = dt = 2 dt = 2 - 2 = 2t – 2arc + C = 2 - 2arctg +C

II. , замена:

или

, замена: , dx = -

Пример:

= = = = - = - = - = -

Тригонометрические подстановки в иррациональных интегралах.

III. )dx

Замена: x=a sint, dx=a costdt

Пример:

= = = = dt = = tg(arcsin ) + C

IV. )dx

Замена: x=a tgt, dx =

V. )dx

Замена: x= , dx= - dt

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]