Вопрос 24. Определение и геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке задана функция . Разобьём отрезок произвольным образом на n частей точками ; длину -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков выберем произвольную точку и составим сумму .

Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка на части , ни от выбора точек , то функция называется интегрируемой по отрезку , а этот предел называется определённым интегралом от функции по отрезку и обозначается .

Геометрический смысл определённого интеграла. если на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x=a и x=b, сверху - функцией .

Если положение точки при её движении по числовой  прямой задаётся функцией S = f(t), где t – время движения, то производная функции S – мгновенная скорость движения в момент времени t. По аналогии с этой моделью вообще говорят о том, что производная функции у = f(x) – скорость изменения функции в точке х.

Вопрос25 Свойства определенного интеграла

Линейность.

Док-во. Рассмотрим разбиение R отрезка точками:

— произвольная точка; . Составим интегральную сумму для левой части равенства:

переходя к пределу при получим требуемое равенство.

Аддитивность по множеству

Если и интегрируема на и , то интегрируема на и

Док-во. Рассмотрим разбиение ;

Обозначим :

Если и , то

Составим интегральную сумму:

Прейдем к пределу при и :

Т.е. получим требуемое равенство.

Свойства определённого интеграла.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Формула Ньютона-Лейбница

Если непрерывна на , а ее первообразная, то: .

Док-во. — непрерывная функция . Рассмотрим разность .

Разобьем отрезок на части точками R:

Представим разность в виде: . Но , поэтому .

Переходим к пределу при , получим .

Cв-ва опр. интеграла:

(все интегралы на отрезке от А до В)

1 ∫С·f(x)dx=C·∫f(x)dx

2 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

3 ∫f(x)dx=-∫f(x)dx

4 Если f(x)≤g(x) на (A,B), то ∫f(x)dx≤∫g(x)dx

5 Если на (А,В) m=minf(x) M=maxf(x)то m(B-

-A)≤∫f(x)dx≤M(B-A)

6 Если f(x) непрерывна на (A,B) то сущ. также точка

С∈(A;B) ∫f(x)dx=f(C)·(B-A)

7 Если f(x) непрерывна на (А,В) то ∫f(x)dx существует

8 ∫f(x)dx=∫(a→d)f(x)dx+∫(d→b)f(x)dx

9 Формула Ньютона-Лейбница:

∫f(x)dx=F(B)-F(A)→F`(x)=f(x)

Вопрос 26. Приложение определенного интеграла. Вычисление площади криволинейной трапеции.

1)

Площадь криволинейной трапеции с оси X=a, X=b и боковыми сторонами: отрезок и график функции .

2) Площадь четырехугольника заключенного между кривыми , ; и прямыми X=a, X=b

— разность площадей двух трапеций

Можно находить площади более сложных фигур: — меняет знак S — сумма четырех площадей

Вычисление объема тела вращения.

Пусть кривая заданная на отрезке , вращается вокруг оси OX.

Требуется найти объем тела вращения

_{Разобьем отрезок} на части точками:

Обозначим

Проведем через точки плоскости .

Тело вращения разобьется на цилиндры с объемом

высотой , радиусом оси .

Объем цилиндра . Объем вписанного ступенчатого цилиндрического тела .

— объем тела вращения вокруг оси OX. Здесь

;

Объёмы тел вращения.

Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений.

Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси

Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами и , вокруг полярной оси находится по формуле .

Вычисление работы с помощью определённого интеграла. 1)     Если сила постоянна , то работа выражается следующим образом . 2)     Если сила переменная величина, то .

Путь, пройденный телом