Вопрос 15. Неопределенный интеграл его свойства. Таблица интегралов

Определение. Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) на интервале (а,b) называется н е-опреде ленным интегралом от функции f(x)

(на этом интервале) и обозначается символом

(6.1)

В этом обозначении знак ѓ называется знаком интеграла, выра­жение f(x) dx ~ подынтегральным выражением, а сама функ­ция f(x) — подынтегральной функцией.

Если F(x) — одна из первообразных функций для функции f(x) на интервале (а, b), то, в силу следствия из теоремы 6.1,

(6.2)

где С — любая постоянная.

Подчеркнем, что если первообразная (а стало быть, и не­определенный интеграл) для функции f(x) на интервале (а,b) существует, то подынтегральное выражение в формуле (6.1) представляет собой дифференциал любой из этих первообраз­ных. В самом деле, пусть F(x) — любая из первообразных для функции f(x) на интервале (а,b), т.е. для всех х из интервала (a,b) F'{x) = f(x). Тогда f(x)dx = F'(x)dx = dF

Основные свойства неопределенного интеграла.

Прежде всего отметим два свойства, непосредственно вытекаю­щие из определения неопределенного интеграла:

Свойство 1° означает, что знаки d и (интеграл) взаимно сокращаются в случае, если знак дифференциала стоит перед знаком инте­грала.

Свойство 2° означает, что знаки ѓ и d взаимно сокращаются и в случае, если знак интеграла стоит перед знаком дифферен­циала, но в этом случае к F(x) следует добавить произвольную постоянную С.

Для установления свойства 1° достаточно взять дифферен­циал от обеих частей формулы (6.2) и учесть, что dF{x) = = F'(x)dx = f(x)dx.

Для установления свойства 2° достаточно в левой части (6.2) воспользоваться равенством dF(x) = f(x) dx.

Следующие два свойства обычно называют линейными свой­ствами интеграла:

Неопределённый интеграл и его свойства.

Множество всех первообразных функции называется неопределённым интегралом.

Свойства:

1. Интеграл суммы равен сумме интегралов.

2. ∫аf(x)dx=a∫f(x)dx

3. Если ∫f(x)dx=F(x)+C то ∫f(αx)dx=1/αF(αx)+C

4. Если ∫f(x)dx=F(x)+C то ∫F(x+B)dx=F(x+B)+C

5. объединённые 3 и 4

Таблица основных интегралов.

1) ∫ xdx = +C

2) ∫ dx = ln|x|+C

3) ∫ a^xdx = +C

4) ∫ e^xdx = e^x+C

5) ∫ sinxdx = -cosx+C

6) ∫ cosxdx = sinx+C

7) ∫ dx = tgx+C

8) ∫ dx = -ctgx+C

9) ∫ dx = arctgx+C

10) ∫ dx = arctg +C

Док-во: ∫ = ∫

(a-arctg )+C = arctg +C

11) ∫ dx = arcsinx+C

12) ∫ dx = arcsin +C

13) ∫ =?

Применяем приём разложения дроби на простейшие:

= = ( ) =>

=> ∫ = (∫ dx + ∫ dx) =

= (-ln|a-x|+ln|a+x|+C) = ln +C

Это интеграл «короткий логарифм»

14) ∫ = ln(x )+C

«длинный логарифм»

Опр.Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом . Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.

Вопрос 16. Замена переменной в неопределенном интеграле.Примеры.

Пусть . Тогда . Здесь t(x) - дифференцируемая монотонная функция.

Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменную x на t: . Это означает, что . Заменим независимую переменную t на функцию t = t(x): . Следовательно, функция F(t(x)) является первообразной для произведения , или .

При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.

1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: , и задача сводится к вычислению интеграла . Например, (задача сведена к вычислению , где t = cos x) (аналогично находится интеграл от ); (задача сведена к вычислению , где t = sin x) .

2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: ; в результате (возвращаемся к исходной переменной) .