- •Вопрос 1 Предел последовательности. Ограниченные, возрастающие, убывающие последовательности.
- •Вопрос 2 Предел функции.
- •Вопрос 3. Замечательные пределы.
- •Вопрос 4. Непрерывные функции
- •Вопрос 5 .Определение производной. Примеры.
- •Вопрос 6. Таблица производных.
- •Вопрос 7. Основные правила дифференцирования.
- •Вопрос 8. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Вопрос 9.Правило Лопиталя.
- •Вопрос 10. Возрастание и убывание функции.
- •Вопрос11 Точки экстремума функции. Необходимые условия экстремума.
- •Вопрос 12. Выпуклость и вогнутость.
- •Вопрос 13. Общая схема построения графика функции.
- •Вопрос14 Первообразная функция. Структура множества первообразных функций
- •Вопрос 15. Неопределенный интеграл его свойства. Таблица интегралов
- •Вопрос 16. Замена переменной в неопределенном интеграле.Примеры.
- •Вопрос 17. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Примеры
- •Вопрос 18. Вычислениe неопределённых интегралов, содержащих в знаменателе квадратный трёхчлен.
- •Вопрос 19. Итегрирование рациональных дробей
- •Вопрос 20. Разложение рациональной дроби на простейшие.
- •Вопрос21 Интегрирование иррациональных выраж. Дробно- линейные иррациональности.
- •Вопрос22. Интегрирование тригонометрических выражений.
- •Вопрос 23. Определенный интеграл. Необходимое условие интегрируемости.
- •Вопрос 24. Определение и геометрический смысл определенного интеграла
- •Вопрос25 Свойства определенного интеграла
- •Вопрос 26. Приложение определенного интеграла. Вычисление площади криволинейной трапеции.
- •Вопрос 27. Теорема о замене переменной в определенном интеграле.
- •Вопрос 28. Несобственные интегралы.
- •Вопрос 29. Понятие диф ур-я, основные определения.
- •Вопрос 30, Задача Коши для диф. Ур 1пор.
- •Вопрос 31. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
- •Вопрос 32. Диф. Уравнения с разделяющимися пер-ми.
- •Вопрос 33. Диф. Однородные диф. Ур-я 1-го порядка.
- •Вопрос34. Лин диф ур.
- •Вопрос 36.Интегрируемые типы диф ур-й 2-го порядка
- •Вопрос 37. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Вопрос 38. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
- •Вопрос 39. Комплексные числа.
- •Вопрос 40. Функции нескольких переменных. Основные определения и свойства.
- •Вопрос 41. Производные от функций многих переменных.
- •Вопрос 42. Исследование функций двух независимых переменных на экстремум
- •Вопрос 43. . Числовые ряды. Основные понятия.
- •Вопрос 44. Признак сравнения.
- •Вопрос 45. Знакочеред ряды. Т Лейбница.
- •Теор Признак Лейбница
- •Вопрос 47. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
- •Вопрос 48. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
- •Вопрос 49. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
- •Вопрос 50. Множества. Операции над множествами
Вопрос 41. Производные от функций многих переменных.
Для упрощения изложения дальнейшие выкладки будем проводить для n=3 (заметим, что все выводы справедливы и для произвольного n). Пусть в некоторой (открытой) области D имеется функция U(x,y, z). Зададим постоянные значения x0, y0 и будем изменять только x(в окрестности точки x0). Дадим приращение , тогда функция получит изменение которое называется частным приращением функции по x. По определению, производная представляет собой предел отношений
Это частная производная функции f (x, y, z) по переменной x в точке (x0, y0, z0). Частную производную обозначают одним из символов:
Аналогично получаются частные производные по другим независимым переменным. В обозначениях частных производных всегда указывается переменная, по которой вычисляется производная. Само вычисление частной производной выполняется точно по тем же правилам, что и для функций одной переменной, но при этом другие переменные принимаются за константы.
Примеры вычисления частных производных от функций 2-х и 3-х переменных:
1)
2)
Вопрос 42. Исследование функций двух независимых переменных на экстремум
Определение. Пусть функция f (х, у) определена в точке M0 (x0, y0) и в некоторой её окрестности. Функция f (х, у) имеет максимум в точке(x0, y0), если f (x0, y0) > f (х, у) для всех точек(х, у). из некоторой окрестности точки(x0, y0). Если же f (x0, y0) < f (х, у)., то функция f (х, у) имеет минимум в точке M0 (x0, y0). Точки, в которых функция принимает максимальное и минимальное значения, называются экстремальными.
Аналогично вводятся понятия максимума и минимума для функций трёх и более аргументов. Мы ограничимся рассмотрением функций двух переменных. В случае необходимости весь изложенный ниже материал легко обобщается на случаи функций любого числа переменных.
Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если функция f (х, у) имеет в точке M0 (x0, y0) экстремум, то все частные производные первого порядка от f (х, у) или равны нулю, или не существуют в этой точке.
Доказательство. Зафиксируем один аргумент функции f (х, у). Например, положим переменную у равной постоянной y0. Функция f (x, y0) будет в этом случае функцией одной переменной х. По условию теоремы при x = x0 она имеет экстремум (максимум или минимум) и, следовательно, её первая производная в этой точке равна 0 (см. тему №5), то есть (или не существует). Рассуждая аналогично, убеждаемся, что производная функции f (x0, y) по переменной у должна обращаться в нуль или не существовать при y = y0. Теорема доказана.
Данная теорема даёт необходимые условия существования экстремума: функция f (х, у) имеет экстремум в тех точках, где частные производные первого порядка и обращаются в нуль (или не существуют).
Сформулируем правило нахождения точек, в которых функция может иметь экстремум: приравнивая частные производные первого порядка к нулю, получаем систему уравнений:
Решения этой системы, а также точки, в которых эти производные не существуют, являются теми значениями независимых переменных, при которых функция может достигать экстремума. Эти точки называются критическими для функции . Если дифференцируемая функция не имеет критических точек, то она и не имеет экстремума.
Приведённая выше теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции. Так, например, функция z = x2 - y2 имеет производные , , которые обращаются в нуль при x =0 и y = 0. Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума.
Установим достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Теорема 2. Пусть в некоторой области, содержащей точку M0 (x0, y0), функция f (х, у) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка M0 (x0, y0) является критической для функции f (х, у), то есть . Тогда при x = x0, y = y0:
f (х, у) имеет максимум, если и A < 0, где .
f (х, у) имеет минимум, если и A > 0.
f (х, у) не имеет ни максимума, ни минимума, если
если , то экстремум может быть, а может и не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование).