Вопрос11 Точки экстремума функции. Необходимые условия экстремума.

Точка х0 называется точкой локального максимума функции, если для всякого х из дельта окрестности (x(x0-;x0+)) выполняется f(x)<f(x0), и точкой локального минимума, если f(x)>f(x0).

Теорема (необходимое условие локального экстремума): Если функция имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то её производная равна нулю. Док-во: т.к. в точке х0 функция имеет локальный экстремум, то есть такой интервал, на котором значение функции в точке х0 будет наибольшим/наименьшим среди всех других значений функции на этом интервале, что означает производная в этой точке равна нулю. Обратное не верно. Этой теореме соответствует следующий геометрический факт: если в точках макс и мин ф-я имеет производную, то касательная к кривой y=f(x) в этих точках || оси ох. СЛЕДСТВИЕ: если при всех рассматриваемых значениях аргумента х ф-я имеет производную, то она может иметь экстремум только при тех значениях, при кот производная обращается в 0. Экстремум м.б. там, где производной не существует. Однако не при всяком значении, при кот производная обращается в 0, обязательно существует экстремум. Значение аргументов, при кот производная обращается в 0 или терпит разрыв, наз-ся критическими точками.

Достаточное условие экстремума: если непрерывная функция f(x) дифференцируема в дельта окрестности (x0-;x0+) и при переходе через неё слева направо производная меняет знак с + на -, то х0- точка максимума(если с – на + то минимума).Док-во (с + на -): Рассмотрим (x0-;x0) для х из этого интервала на отрезке [x;x0]. Применим формулу Лагранжа. f(x0)-f(x)=f’(c)>0*(x0-x)>0, c(x;x0) => f(x0)>f(x). Рассмотрим (x0;x0+): тогда на [x0;x], по формуле Лагранжа f(x)-f(x0)=f ’(c)<0*(x-x0)>0, f(x0)>f(x). Вывод: для любой точки из (x0-;x0+) выполняется условие что f(x0)>f(x) => х0-точка максимума.

Вопрос 12. Выпуклость и вогнутость.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M₀ с абсциссой x₀ (принадлеж (a; b)) и проведем через точку M₀ касательную. Её уравнение

y=f’(x₀)(x-x_­0)+f(x₀)

Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ординаты касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим (y с чёрточкой) за ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда (y с чёрточкой) = f’(x₀)(x-x₀)+f(x₀). Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет y-(y с ч)=f(x)- f’(x₀)(x-x_­0)-f(x₀)

Разность f(x)-f(x₀) преобразуем по т.Лагранжа

f(x)-f(x₀)=f’(c)(x-x₀), с между x и x₀

Таким образом

y-y_{с чёрт}= f’(c)(x-x₀)- f’(x₀)(x-x_­0) = (f’(c)-f’(x₀))(x=x₀)

к f’(c)-f’(x₀) – снова т.Лагранжа

y-y_{с чёрт}=f’’(c₁)(c-x₀)(x-x₀), c₁ между с и x₀

По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Предположим, что x>x₀. Тогда x₀<c₁<c<x, следовательно,   (x – x₀) > 0 и (c – x₀) > 0. Поэтому  y-y_{с чёрт}.<0

2. Пусть x<x₀, следовательно, x < c < c₁ < x₀ и (x – x₀) < 0, (c – x₀) < 0. Поэтому вновь y-y_{с чёрт}.<0

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x₀ на (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Точки перегиба графика функции.

Точка х₀ называется точкой перегиба графика у=f(x₀), если слева от этой точки функция явл-ся выпуклой, а справа вогнутой, или наоборот. т.x₀ явл-ся точкой перегиба, если в ней f’’(x₀)=0 или не существует, либо при переходе через х₀ вторая производная меняет знак.