Вектор Умова.

Пусть в некоторой среде вдоль оси х распространяется упругая плоская продольная волна, описываемая уравнением (1.91')

Выделим в среде элементарный объем V такой, что скорость движения частиц dS/dt и деформацию среды dS/dx во всех точках этого объема можно считать одинаковыми. Это означает, что если m – масса всего выделенного объема V, то он обладает кинетической энергией

а потенциальная энергия упругой деформации этого объема

где Е – модуль Юнга, характеризующий упругие свойства среды.

Используя известное выражение m =V (– плотность среды) и зависимость скорости распространения упругих волн в твердой среде от свойств среды

получим

Тогда полная энергия  W, которой обладает выделенный объем , (1.144)

Введем следующие физические величины:

1. Плотность энергии w, [Дж/м³] – суммарная энергия колебаний всех частиц, находящихся в единице объема среды:

2. Поток энергии Ф, [Дж/с]– энергия, переносимая волной через некоторую поверхность S в единицу времени:

3. Плотность потока энергии j, [Дж/(м² с)] – поток энергии через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия:

Через площадку S_ за время t пройдет вся энергия W, содержащаяся в объеме V:

W = wV = wS_ vt.

Рис. 1.79

Тогда плотность потока энергии:

или в векторной форме

Плотность потока энергии – вектор, направление которого совпадает с направлением вектора фазовой скорости .

Вектор плотности потока энергии называется вектором Умова. Вектор Умова позволяет вычислить полный поток энергии через определенную поверхность.

На основании (1.144) плотность энергии w в выделенном объеме

Взяв производные по времени и по координате от S(x,t), получим w =А² ²sin²(t – kx + ).

Так как среднее значение , то среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды <w > = (1/2) А² ².

Этим значением определяется интенсивность волны. Важно отметить пропорциональность среднего значения плотности энергии квадрату амплитуды волны.

Стоячие волны.

Если в среде распространяется несколько волн, то результирующее колебание каждой частицы среды представляет собой сумму колебаний, которые совершала бы частица от каждой волны в отдельности. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

Интерференцией называется явление наложения когерентных волн, при котором происходит перераспределение энергии колебаний в пространстве, в результате чего в одних его точках наблюдается ослабление, а в других – усиление колебаний.

Когерентными называются колебания (волны, источники), у которых:

1) частоты одинаковые: ₁ = ₂ = ₀;

2) колебания происходят вдоль одного направления (сонаправлены);

3) разность фаз колебаний не изменяется во времени:

_–₁= сonst

Рис. 1.80

Рассмотрим (рис. 1.80) два когерентных источника S₁ и S₂, от которых распространяются волны так, что в точке наблюдения (точка М) колебания описываются выражениями

S₁(t) = A₁ cos (t – k r₁) = A₁ cos ( t – ₁)

S₂(t) = A₂ cos (t – k r₂) = A₂ cos ( t – ₂)

где r₁ и r₂ – расстояния от источников до точки наблюдения ₁ и ₂ – начальные фазы колебаний в точке наблюдения.

В соответствии с теоремой косинусов амплитуда результирующего колебания в точке М имеет вид :

где _– _ – разность фаз колебаний в этой точке.

Из этой формулы следует, что:

1) если = + 2n, (cos = 1), то амплитуда колебаний становится максимальной (A = A_max), т. е. в точке пространства, для которой выполняется указанное условие для  происходит усиление колебаний;

2) если  = + (2n+1), (cos  = –1), то амплитуда колебаний становится минимальной (A = A_min), т. е. в точке пространства, для которой выполняется указанное условие для  происходит ослабление колебаний. В частности, если А₁ = А₂, то колебаний не происходит вообще – данная частица среды покоится.

Рассмотрим наиболее простой и важный случай интерференции: сложение двух плоских волн, имеющих одинаковую амплитуду и распространяющихся навстречу друг другу. Возникающий при этом колебательный процесс называется стоячей волной.

Волна, распространяющаяся в положительном направлении оси х: S₁ = A cos ( t – kх)

Волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси х: S₂ = A cos ( t + kх)

Результирующая волна получается при сложении S = S₁ + S₂

Из тригонометрии известно:

Поэтому S = S₁ + S₂ = 2A cos kx cos t,

т. е. амплитуда результирующих колебаний является функцией координаты точки пространства, в которой рассматривается колебание A_рез = А (х) = 2A cos kx

Анализ выражения A_рез = 2A cos kx

1) если cos kx = 0, то A _рез = 0, т.е. точки среды не колеблются (рис. 1.81). Координаты x = x_узл  точек среды, в которых колебания отсутствуют, называются узлами:

(n = 0, 1, 2,...)

2) если cos kx= + 1, то A _рез = А_max, т. е. амплитуда колебаний соответствующих точек среды максимальна (рис. 1.81). Координаты x = х_пучн точек среды, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями:

(n = 0, 1, 2,...)

Из этих формул видно, что расстояние между соседними пучностями и соседними узлами одинаковое и равно /2. Все точки, лежащие по разные стороны узлов колеблются в противофазе, а все точки, находящиеся между узлами, колеблются в одинаковой фазе.

Рис. 1.81