20. Элементы релятивистской динамики: масса, импульс и энергия. Релятивистская динамика Энергия и импульс

Если частица с массой m движется со скоростью  , то её энергия и импульс имеют следующую зависимость от скорости:

Эти соотношения обобщают классические выражения для энергии и импульса, получающиеся в результате разложения в ряд по  :

При нулевой скорости, энергия частицы называется энергией покоя:  . В современной физической литературе, принято, что m — масса частицы не зависит от скорости, являясь инвариантом относительно преобразований Лоренца, и является величиной неаддитивной. Понятие «релятивистской массы», зависящей от скорости   не используется ^[25] , хотя оно и встречается в ранних работах по теории относительности. Историческая причина введения этого понятия была связана с попытками сохранить для релятивистского импульса классическую форму:  .

При приближении скорости тела к скорости света, его энергия и импульс стремятся к бесконечности. Это одна из причин, по которой «обычные» объекты неспособны двигаться быстрее скорости света. Для частицы с ненулевой массой даже достижение скорости света потребует затраты бесконечной энергии. Заметные отклонения от классических выражений для энергии и импульса происходят при скоростях близких к скорости света. Если скорости относительно невелики, то отклонения от классической динамики незначительны. Например, при скорости u=c/4, относительная разница релятивистского и классического импульса составляет всего 3 %.

Между релятивистской энергией и импульсом существуют следующие связи:

Эти формулы остаются справедливыми и для объектов, движущихся со скоростью света. В этом случае их масса должна быть равна нулю  .

[Править]Уравнения движения

Действующая на тело сила   изменяет его импульс. Поэтому второй закон Ньютона в форме

остаётся справедливым также и в теории относительности. Однако, производная по времени берётся от релятивистского импульса, а не от классического. Это приводит к тому, что связь силы и ускорения существенно отличается от классической:

Первое слагаемое содержит «релятивистскую массу», равную отношению силы к ускорению, если сила действует перпендикулярно скорости. В ранних работах по теории относительности её называли «поперечной массой». Именно её «рост» наблюдается в экспериментах по отклонению электронов магнитным полем. Второе слагаемое содержит «продольную массу», равную отношению силы к ускорению, если сила действует параллельно скорости:

Как было отмечено выше, эти понятия являются устаревшими и связаны с попыткой сохранить классическое уравнение движения Ньютона  .

Скорость изменения энергии равна скалярному произведению силы на скорость тела:

Это приводит к тому, что, как и в классической механике, составляющая силы перпендикулярная к скорости частицы не изменяет её энергию (например, магнитная составляющая в силе Лоренца).

21. Общие свойства жидкостей и газов. Давление. Закон Паскаля, закон Архимеда. Равновесие, погруженных в жидкость, тел. Идеальная жидкость.

Давление в Жидкости. Закон Паскаля

В жидкостях частицы подвижны, поэтому они не имеют собственной формы, но обладают собственным объемом, сопротивляются сжатию и растяжению; не сопротивляются деформации сдвига (свойство текучести).

В покоящейся жидкости существует два вида статического давления: гидростатическое и внешнее. Вследствие притяжения к Земле жидкость оказывает давление на дно и стенки сосуда, а также на тела, находящиеся внутри нее. Давление, обусловленное весом столба жидкости, называется гидростатическим. Давление жидкости на разных высотах различно и не зависит от ориентации площадки, на которую оно производится.

Пусть жидкость находится в цилиндрическом сосуде с площадью сечения S; высота столба жидкости h. Тогда

Гидростатическое давление жидкости зависит от плотности р жидкости, от ускорения g свободного падения и от глубины h, на которой находится рассматриваемая точка. Оно не зависит от формы столба жидкости.

Глубина h отсчитывается по вертикали от рассматриваемой точки до уровня свободной поверхности жидкости.

В условиях невесомости гидростатическое давление в жидкости отсутствует, так как в этих условиях жидкость становится невесомой. Внешнее давление характеризует сжатие жидкости под действием внешней силы. Оно равно:

Пример внешнего давления: атмосферное давление и давление, создаваемое в гидравлических системах. Французский ученый Блез Паскаль (1623-1662) установил: жидкости и газы передают производимое на них давление одинаково по всем направлениям (закон Паскаля). Для измерения давлений используют манометры.

Их конструкции весьма разнообразны. В качестве примера рассмотрим устройство жидкостного манометра. Он представляет собой U-образную трубку, один конец которой соединяется с резервуаром, в котором измеряют давление. По разности столбов в коленах манометра можно определять давление.

Закон Архимеда. На погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная суммарной объемной силе, действующей на жидкость в объеме тела.  Доказательство этого закона достаточно просто. По своей природе выталкивающая сила есть векторная сумма сил давления жидкости на поверхность тела (рис. 196).

рис. 196  Следовательно, эта сила определяется распределением давления жидкости вблизи поверхности тела. Мысленно уберем тело из жидкости, оставив только его «оболочку», которую заполним той же жидкостью. От такой замены суммарная сила давления на поверхность не изменится. С другой стороны, очевидно, что жидкость в объеме тела, находящаяся в такой же жидкости, будет находиться в равновесии. Поэтому суммарная сила давления будет равна по величине и противоположна по направлению объемной силе, действующей на жидкость в объеме тела.  В частном случае, если единственной объемной силой является сила тяжести и при постоянной плотности жидкости ρвыталкивающая сила (сила Архимеда F_A) по модулю равна силе тяжести, действующей на жидкость в объеме тела V и противоположна ей по направлению, то

F_A = ρgV, векторной форме,

 Заметим, что выталкивающая сила появляется только в том случае, когда давление внутри жидкости различно в различных точках. В случае постоянного давления (каким бы большим оно не было) суммарная сила давления равна нулю. Различие давлений обусловлено только объемными силами, действующими на жидкость. Поверхностные силы, как было нами показано, не могут привести к возникновению разности давлений в различных точках жидкости. Допустим, что жидкость находится под поршнем − увеличение силы давления на поршень не приведет к увеличению выталкивающей силы, действующей на погруженное в жидкость тело.  В общем случае, выталкивающая сила может описываться более сложными формулами, которые могут учитывать изменение плотности жидкости, изменение ускорения свободного падения как по величине, так и по направлению, присутствие других объемных сил − инерционных, электрических, магнитных и т. д.

¹Точнее, следует говорить о бесконечно малой площадке.