Уравнение Бернулли.

Одно из важнейших уравнений гидромеханики было получено в 1738 году швейцарским учёным Даниилом Бернулли. Ему впервые удалось описать движение несжимаемой идеальной жидкости (силы трения между элементами идеальной жидкости, а также между идеальной жидкостью и стенками сосуда отсутствуют). Уравнение Бернулли имеет вид: р + рv² + pgh = const.

где р – давление жидкости, р – её плотность, V – скорость движения, g – ускорение свободного падения, h – высота, на которой находится элемент жидкости.

Согласно уравнению Бернулли, в случае установившегося течения, для которого не имеют существенного значения все другие характеристики текущей среды, кроме плотности (удельного веса), полный напор одинаков во всех поперечных сечениях трубки тока. Если к отверстию в стенке трубы присоединить манометрическую трубку, то жидкость в такой трубке поднимется на высоту, равную гидростатическому напору. Если манометрическую трубку выставить навстречу потоку, то жидкость в манометре поднимется на дополнительную высоту, равную скоростному напору. Трубка, имеющая одновременно торцевое и боковые манометрические отверстия, называется трубкой Пито и используется для определения скорости течения по измеренному скоростному напору. Трубки Пито входят в комплект измерительного оборудования всех самолетов, а также широко применяются для измерений скорости течения в трубопроводах, вентиляционных воздуховодах, в аэро- и гидродинамических трубах.

Если скорость течения равна нулю (т.е. среда не движется), то уравнение Бернулли сводится к простому уравнению гидростатики.

Согласно этому уравнению, увеличению высоты в неподвижной среде жидкости или газа соответствует равное уменьшение гидростатического напора. Поэтому давление в любой точке неподвижной жидкости равно глубине этой точки под свободной поверхностью, умноженной на удельный вес жидкости. На основе этого соотношения вычисляется давление жидкости на стенки резервуаров, а также проводится анализ плавучести и остойчивости морских и речных судов.

В тех случаях, когда скорость течения отлична от нуля, уравнение Бернулли совместно с уравнениями неразрывности и закона сохранения количества движения позволяет решать практически важные задачи – о расходе среды, текущей через измерительные диафрагмы, поверх измерительных и водосбросных водосливов и под затворы шлюзовых галерей; о траектории струи жидкости; о форме, скорости и силе волн, действующих на суда и волноломы. Хотя в таких задачах обычно рассматривается течение воды под атмосферным слоем воздуха, аналогичные процессы гравитационного характера имеют место в случае течения более холодной (и, следовательно, более плотной) воды под более теплой, как и других жидкостей и газов разной плотности. Таким образом, водным потокам в реках аналогичны океанские течения и ветры, поскольку все гравитационные явления подчиняются одним и тем же законам гидроаэромеханики.

23. Ламинарное и турбулентное течение. Число Рейнольдса. Движение вязкой жидкости в трубе. Формула Пуазейля. Метод Стокса.

Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Число Рейнольдса.

Число Рейнолдса также определяет относительную роль инерции и вязкости: при больших числах Рейнольдса более важна роль инерции, при малых – вязкости.С илы вязкости, возникающие в потоке, обратно пропорциональны квадрату характерного поперечного размера потока и пропорциональны скорости. Давления р₁ и р₂ по разные стороны изогнутой трубки тока будут разные. Возникающий градиент давления связан с ускореним частиц жидкости уравнением:

(dv/dt)–grad p

Для частицы: F_и–grad p+v=0  силы вязкости значительно меньше сил инерции. В общем слкчае силы инерции обратно пропорциональны поперечному размеру потока и пропорциональны квадрату скорости. Re=vh/ – число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции к силам вязкости. Re>1  жидкость можно рассмартивать как невязкую.

Л аминарным называется такое течение жидкости, когда её частицы двигаются вдоль траекторий параллельных стенам трубы. Особенностью ламинарного течения является его регулярность. Ламинарное течение может изменится только вследствии посторонних воздействий. При больших скоростях ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в турбулентное. Турбулентное – это течение, гидродинамические характеристики, которого изменяются быстро и нерегулярно – флуктируют. При ламинарном течении силы вязкости сглаживают боковые движения жидкости, возникающие вследствие флуктуаций и неровностей стенок трубы. При недостаточной вязкости случайные боковые движения жидкости усиливаются, способствуя тем самым возникновению турбулентности. Переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при некотором числе Рейнольдса, получившем название критического: (Re)_КР=(vR/)_кр. Значение (Re)_КР сильно зависит от формы входной части трубы. При установившемся турбулентном течении скорость в данной точке случайным образом меняется современем, однако средняя скорость v направлена вдоль оси трубы. Она остается постоянной по сечению трубы, и только в очень тонком пограничном слое спадает до нуля у ее стенок. Для турбулентного течения жидкости по трубе p₁–p₂=k<v²>l/R, где к – безразмерный гидравлический коэффициент. Для ламинарного течения: p₁–p₂=8<v>l/R². Повышение скорости прокачки жидкости по трубам при турбулентном течении потребует значительно большнго увеличения перепада давлений, чем при ламинарном. Формулы можнообъединить в одну, если принять, что безразмерный гидравлический коэффициент в зависит от числа Рейнольдса: k=k₀+(8/Re). Тогда при Re>Re_кр коэффициент kk₀, и течение турбулентное. Напротив, при Re<1 k8/Re , и первая формула переходит в0 2-ую. На рис. (4.12) изображен график зависимости перепада давления в трубах от скорости течения. При свободном ламинарном течении жидкости (в отсутствие направляющих поверхностей) развиваются неустойчивости, и ламинарное течение переходит в турбулентное. На рис. 4.13. представлено изображение струи жидкости (число Рейнольдса Re = 250).

Течение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса.

Для анализа течения вязкой жидкости в правую часть уравнения движения (dv/dt)=F–drad p необходимо добавить силу вязкого трения, приложенную к единице объема жидкости. Для простоты ограничимся рассмотрением течения жидкости в направлении оси x, при это единственная компонента скорости vx будет зависеть от поперечной координаты y (рис. 4.3). На верхнюю грань dxdz кубика dxdydz (ось z перпендикулярна плоскости чертежа) в соответствии с F=(Sv/h) в направлении оси x действует увлекающая сила: , а на нижнюю грань тормозящая: . Равнодействующая сил вязкого трения, приложенная к выделенному кубику, равна F_=F’_x+F”_x, a сила, приложенная к единичному объему, составит . В общем случае сила вязкого трения, вообще говоря, имеет три компоненты: f_={f_x, f_y, f_z}, где f_x=v_x, f_y=v_y, f_z=v_z, где  = — оператор Лапласа, для сокращения записи. Если теперь компоненты силы трения подставить в правые части уравнений для соответствующих компонент скоростей, то мы получим систему уравнений гидродинамики вязкой жидкости. Эти три уравнения могут быть записаны в виде одного векторного уравнения Навье-Стокса:

Течение вязкой жидкости по трубе. Формула Пуазейля. Если мы подсоединим тонкую горизонтальную стеклянную трубу с впаянными в нее вертикальными манометрическими трубками при помощи резинового шланга к водопроводному крану (рис. 4.6). При небольшой скорости течения хорошо видно понижение уровня воды в манометрических трубках в направлении течения (h 1 >h 2 >h 3 ). Это, в свою очередь, указывает на наличие градиента давления вдоль оси трубки — статическое давление в жидкости уменьшается по потоку. При равномерном прямолинейном течении жидкости силы давления уравновешиваются силами вязкости. Уравнение Навье-Стокса для этого случая запишется в виде:

-grad p+v=0. (4.12)

Распределение скоростей в поперечном сечении потока вязкой жидкости можно наблюдать при ее вытекании из вертикальной трубки через узкое отверстие (рис. 4.7). Если, например, при закрытом кране К налить вначале неподкрашенный глицерин, а затем сверху осторожно добавить подкрашенный, то в состоянии равновесия граница раздела Г будет горизонтальной. Если кран К открыть, то граница примет форму, похожую на параболоид вращения. Приравняем нулю сумму сил вязкости и давления, действующих на цилиндрический объем жидкости радиуса r и длиной dx (рис. 4.8):

(p(x) – p(x+dx))r²+2rdx(dv/dr)=0 (4.13)

Отметим, что равнодействующая сил давления направлена по потоку (вдоль оси x), а сила вязкого трения, приложенная к боковой поверхности выделенного цилиндра — против потока, поскольку dv/dr<0. Произведя сокращение и разделив (4.13) на dx, получаем:

–(dp/dx)+2dv/(rdr)=0 (4.14)

Величина градиента давления dx/dp в (4.14) не зависит от радиуса r, т.к. давление p=p(x) и в поперечном сечении x=const не меняется. Это позволяет проинтегрировать (4.14):

(4.15)

Поток вектора скорости через поперечное сечение трубы, или объем жидкости, протекающей через сечение в единицу времени (на практике употребляют термин «расход жидкости») оказывается равным: .

Для практических целей расход жидкости определяют по формуле Пуазейля:

Здесь расход воды N_v пропорционален разности давлений p₁– p₂ на концах трубы длиной l.

24. Понятие о колебательных процессах. Смещение, скорость, ускорение материальной точки, совершающей колебательное движение. Амплитуда. Период. Частота.

Колебательное движение и его характеристики: смещение, амплитуда, фаза, циклическая частота, период, скорость, ускорение.

Колеба́ния — повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.

Колебания почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одной формы проявления в другую форму.

Классификации колебаний

Выделение разных видов колебаний зависит от свойства, которое хотят подчеркнуть.

Для подчёркивания разной физической природы колеблющихся систем выделяют, например, колебания:

• механические (звук, вибрация);

• электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые);

• комбинации вышеперечисленных;

По характеру взаимодействия с окружающей средой:

• вынужденные – колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия;

• собственные или свободные – колебания при отсутствии внешних сил, когда система, после первоначального воздействия внешней силы, предоставляется самой себе (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие);

• автоколебания – колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии и она расходуется на совершение колебаний (пример такой системы - механические часы).

Характеристики колебательного движения:

Смещение х - отклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени (м).

Амплитуда А – максимальное отклонение тела от положения равновесия. Если колебания незатухающие, то амплитуда постоянна (м).

Период Т — время, за которое совершается одно полное колебание. Выражается в секундах (с).

Фаза колебания - физическая величина, определяющая смещение x в данный момент времени. Измеряется в радианах (рад). Фаза колебания в начальный момент времени (t=0) называется начальной фазой.

Частота — число полных колебаний за единицу времени. В СИ измеряется в герцах (Гц)

Циклическая частота колебаний ω – это число полных колебаний, происходящих за 2π секунд. Единица циклической частоты – радиан в секунду (рад/с).

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.

Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями.

Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени.

Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени: