Вопрос 45 (картинки добавить). Прямая и обратная геодезическая задачи. Теория и решение задач.

Прямая геодезическая задача

Даны координаты xA, xB некоторой точки А, а также длина dAB и дирекционный угол аAB линии АВ, соединяю­щий точку А с точкой В. Требуется вычислить координаты xB, yB точки В. Обозначим:

ΔxAB=xB-xA; ΔyAB= yB-yA, тогда:

xB=xA+ ΔxAB; yB=yA+ ΔyAB.

Величины ΔxAB и ΔyAB называют приращениями координат по оси абсцисс и оси ординат соответст­венно. Индекс "АВ" показывает, что приращения координат по­лучены по стороне АВ. В геометрическом смысле приращение ΔxAB является ортогональной  проекцией стороны АВ на ось абс­цисс, так же как ΔyAB представляет собой ортогональную проекцию этой же линии на ось ординат. Из ΔABK получим:

ΔxAB=dAB*cos(aAB); ΔyAB=dAB*sin(aAB).

Если для вычисления приращений используют румб rAB, то:

ΔxAB= ±dAB*cos(rAB); ΔxAB= ±dAB*sin(rAB).

Знак приращения определяют по названию румба. Подставив значения приращений получим:

xB=xA+ dAB*cos(aAB); yB=yA+ dAB*sin(aAB)

Вычисления приращений координат выполняют на микрокальку­ляторе или с помощью специальных таблиц.

Обратная геодезическая задача

Обратная задача заключается в том, что по координатам двух точек находят длину и дирекционный угол соединяющей их линии. Пусть даны координаты xA, yA, точки А и xB, yB точки B. Прежде всего найдем приращение координат:

ΔxAB=xB-xA; ΔyAB= yB-yA.

Затем по теореме Пифагора вычислим длину стороны АВ = dAB:

dAB√( Δx2AB+ Δy2AB)

После этого получим величину rAB румба направления АВ:

cos(rAB)=|ΔxAB|/dAB

контроль

sin(rAB)=|ΔyAB|/dAB

Название румба определим по знакам приращения координат. От румба перейдем к дирекционному углу.

Возможен другой путь решения задачи, когда, вычислив приращения координат, прежде всего находят румб rAB и дирекционный угол aAB, а уже затем длину стороны АВ = dAB:

tg(rAB)=|ΔyAB |/|ΔxAB|

rAB => aAB

dAB=|ΔxAB|/cos(rAB)

контроль:

dAB=|ΔyAB|/sin(rAB)

Вопрос 46 (картинки добавить). Вычисление и уравнивание приращений координат для замкнутого теодолитного хода. Геометрический смысл невязок.

Камеральная обработка результатов измерений в теодолитном ходе

Камеральную обработку результатов измерений начинают с проверки полевых журналов, после чего из этих журналов результаты полевых измерений переносят в специальную ведомость вычисления координат вершин теодолитного хода, в которой затем выполняют все необходимые вычисления. Порядок вычисления координат вершин рассмотрим на примере сомкнутого теодолитного хода, имеющего n вершин.

1. Определяют сумму измеренных горизонтальных углов полигона (в сомкнутом ходе обычно измеряют внутренние углы):

Суммаβизм =β1+β2+…+βn

2. Вычисляют теоретическое значение суммы внутренних углов многоугольника 1, 2…n.

Суммаβтеор=180(n-2)

Поскольку измеренные углы полигона содержат неизбежные погрешности, то их сумма, в общем случае, не будет совпадать с теоретическим значением.

3. Вычисляют угловую невязку полигона fβ которая представляет собой разности практически полученной теоретической сумм углов:

Fβ=суммаβизм+ суммаβтеор

Если погрешности измерений горизонтальных углов не являются грубыми ошибками и носят случайный характер, то угловая невязка fβ в соответствии с теорией случайных погрешностей не может превышать величины доп - fβ,

определенной по формуле:

доп – fβ, km = kmβ√n

где к - коэффициент перехода от средней квадратической погрешности к предельной; m - ср.кв. погрешность суммы углов полигона; mβ - ср.кв. погрешность измерения угла в теодолитном ходе.

Приняв к = 2, a mβ = 30", получим

доп - fβ = l√n.

4. Если фактическая угловая невязка fβ не превышает по модулю предельную допустимую величину доп - fβ, переходят к исправлению измеренных горизонтальных углов. Для этого фактическую невязку fβ распределяют с обратным знаком поровну на все измеренные углы. В результате этого каждый угол получит поправку v = - fβ/n, т.е.

β1испр=β1+ν=β1- fβ/n;

β2испр=β2+ν=β2- fβ/n;

βnиспр=βn+ν=βn- fβ/n;

Сумма всех исправленных углов должна равняться теоретическому значению.

5. Вычисляют дирекционные углы сторон хода. В качестве исходного берут дирекционный угол a1 стороны хода 1-2. Дирекционный угол а2 следующей стороны 2-3 находят, используя правый по ходу исправленный угол β2испр между этими сторонами:

a2=a1±180- β2испр

аналогично

a3=a2±180- β3испр

a4=a3±180- β4испр

a1=an±180- β1испр

Таким образом, обойдя весь полигон, мы снова вернулись к исходной стороне. Это служит контролем правильности вычисления дирекционных углов.

6. Вычисляют румбы сторон теодолитного полигона. Если для приращения координат предполагается использовать микрокалькулятор, то этот пункт можно опустить.

7. Вычисляют приращения координат по всем сторонам полигона. Можно воспользоваться также таблицами приращений координат или натуральных значений тригонометрических функций.

8. Находят сумму вычисленных приращений по оси X и оси У:

суммаΔxвыч=Δх1+Δх2+…+Δхn

суммаΔyвыч=Δy1+Δy2+…+Δyn

В сомкнутом теодолитном ходе конечная точка совпадает с начальной, т.е. в конечном итоге никакого смещения ни по оси X, ни по оси Y не происходит. Следовательно, теоретические значения сумм приращения координат в таком ходе равняются нулю.

суммаΔxтеор=0

суммаΔyтеор=0

Вычисленные приращения координат содержат ошибки, обусловленные погрешностями результатов измерений углов и линий хода, поэтому суммы вычисленных приращений, в общем случае, не совпадут с теоретической величиной. Разности fx и fy которые они образуют, называют невязками теодолитного хода в приращениях координат по оси абсцисс и ординат:

fx= суммаΔxвыч- суммаΔxтеор= суммаΔxвыч

fy= суммаΔyвыч- суммаΔyтеор= суммаΔyвыч

Если конечная точка 1' полигона не совпадает с его начальной точкой 1 из-за погрешностей в приращениях координат, то величину несмыкания полигона - расстояние 1’ - 1 = fр называют абсолютной линейной невязкой теодолитного хода. Проекции fx и fy отрезка fp на оси координат есть невязки теодолитного хода в приращениях координат по оси абсцисс и ординат соответственно, поэтому

fp=√(fx2+fy2)

Величина fp не характеризует точности измерения углов и линий в теодолитном ходе, так как, кроме этого, зависит от периметра полигона Р. Чтобы исключить влияние периметра, вычисляют относительную невязку хода, которую выражают простой дробью с числителем, равным единице,-

fp/P=-1/(P/fp)=-1/N

Результат считается удовлетворительным, если 1/N меньше 1:2000. В тех случаях, когда теодолитный ход прокладывают в сложных условиях, не позволяющих обеспечить необходимой точности измерения расстояний, требования к относительной невязке снижают до 1:1500 - 1:1000. Однако такое снижение должно быть предусмотрено проектом, а в качестве компенсации потери точности уменьшена длина хода.

9. Убедившись в допустимости невязки, приступают к исправлению вычисленных приращений координат. При этом исходя из того, что погрешность приращения в общем случае тем больше, чем длиннее сторона хода, по которой это приращение получено. Поэтому фактические невязки fx и fy распределяют с обратным знаком на вычисленные приращения по соответствующей оси пропорционально длинам стороны. Сумма всех поправок по осям X и У должна равняться невязке по соответствующей оси с обратным знаком. Исправленные приращения координат находят как алгебраическую сумму вычисленного значения и приходящейся на него поправки. После этого проверяют сумму исправленных приращений. Она должна равняться теоретическому значению, т.е. в данном случае нулю.

10. По исправленным приращениям вычисляют координаты вершин:

x1 – задано

x2=x1+Δx1испр

x3=x2+Δx2испр

x1=xn+Δxnиспр

y1 – задано

y2=y1+Δy1испр

y3=y2+Δy2испр

y1=yn+Δynиспр

Таким образом, переходя от точки к точке, возвращаются к исходному пункту 1. Координаты x1 и y1 полученные в конце вычислений, должны совпадать с исходными. Это будет свидетельствовать об отсутствии ошибок в вычислениях.

Координаты вершин разомкнутого теодолитного хода вычисляют в той же последовательности и по тем же формулам, что и в сомкнутом ходе, за исключением определения теоретических значений сумм горизонтальных углов и приращений координат.

Это справедливо только для сомкнутого многоугольника. Чтобы определить теоретическое, т.е. безошибочное, значение суммы горизонтальных углов разомкнутого полигона, предположим, что эти углы нам известны абсолютно точно. Используя такие углы, перейдем от дирекционного угла а0 опорной стороны в начале хода к дирекционному углу an опорной стороны в конце хода. Воспользуемся левыми по ходу углами полигона.

a1=a0±180+ β1испр

a2=a1±180+β2испр

a3=a2±180+ β3испр

an=an-1±180+ β4испр

Сделав последовательную подстановку, получим

an=a0±180+ суммаβ4испр, откуда

суммаβтеор=an+180n-360k

где к = 0, 1, 2, ... подбирается в каждом конкретном случае.

Проделав аналогичные операции с правыми углами полигона, найдем:

суммаβтеор=a0+an+180n-360k

Чтобы найти теоретические суммы приращений координат в разомкнутом ходе, предположим, что истинные значения приращений известны. Используя эти значения, вычислим координаты вершин:

x2=x1+Δx1теор

x3=x2+Δx2теор

x4=x3+Δx3теор

xn=xn-1+Δxn-1теор

y2=y1+Δy1теор

y3=y2+Δy2теор

y4=y3+Δy3теор

yn=yn-1+Δyn-1теор

Применив формулы к сомкнутому полигону, у которого начальная и конечная точки совпадают, убедимся, что суммы приращений координат в таком ходе должны равняться нулю.