Вопрос 7. Линейная зависимость (независимость) элементов. Размерность и базис линейного пространства.

1. Линейно зависимые и независимые системы векторов.Определение. Система векторов   называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае, т.е. если только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору, векторы называются линейно независимыми.

Теорема (критерий линейной зависимости). Для того чтобы система век торов   линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

1) Если среди векторов   имеется хотя бы один нулевой вектор, то вся система векторов линейно зависима.

В самом деле, если, например,  , то, полагая  , имеем нетривиальную линейную комбинацию  .▲

2) Если среди векторов   некоторые образуют линейно зависимую систему, то и вся система   линейно зависима.

Действительно, пусть векторы  ,  , линейно зависимы. Значит, существует нетривиальная линейная комбинация  , равная нулевому вектору. Но тогда, полагая  , получим также нетривиальную линейную комбинацию  , равную нулевому вектору.

2. Базис и размерность.   Определение. Система линейно независимых векторов   векторного пространства   называетсябазисом этого пространства, если любой вектор из   может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы, т.е. для каждого вектора   существуют вещественные числа   такие, что имеет место равенство Это равенство называется разложением вектора   по базису  , а числа   называютсякоординатами вектора   относительно базиса (или в базисе)  .

Теорема (о единственности разложения по базису). Каждый вектор   пространства   может быть разложен по базису   единственным образом, т.е. координаты каждого вектора   в базисе   определяются однозначно.

 Главное значение базиса заключается в том, что операции сложения векторов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами – координатами этих векторов. А именно, справедлива следующая

Теорема. При сложении двух любых векторов линейного пространства   их координаты (относительно любого базиса пространства) складываются; при умножении произвольного вектора на любое число   все координаты этого вектора умножаются на  .

Определение. Векторное пространство   называется  -мерным, если в нем существуют   линейно независимых векторов, а любые   векторов уже являются линейно зависимыми. При этом число   называется размерностьюпространства  .

 Размерность векторного пространства, состоящего из одного нулевого вектора, принимается равной нулю.

Размерность пространства   обычно обозначают символом  .

Определение. Векторное пространство   называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых векторов. В этом случае пишут  .

Выясним связь между понятиями базиса и размерности пространства.

 Теорема. Если   – векторное пространство размерности  , то любые   линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.

 Теорема. Если векторное пространство   имеет базис, состоящий из   векторов, то  .