- •Вопрос 2.Множества и основные действия над множествами. Свойства действий над множествами.
- •Вопрос 3. Важнейшие числовые системы (натуральные, целые, рациональные и вещественные числа).
- •Вопрос 4.Важнейшие математические структуры (пространство n измерений. Метод координат).
- •Вопрос 5. Линейное пространство и его важнейшие свойства.
- •§2. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов.
- •§8. Линейные операторы.
- •§9. Действия с линейными операторами.
- •Вопрос 6. Сложение векторов, умножение векторов на числа. Вычитание векторов.
- •Вопрос 7. Линейная зависимость (независимость) элементов. Размерность и базис линейного пространства.
- •Вопрос 8. Норма элемента, расстояние между элементами пространства. Ортонормированный базис.
- •Вопрос 9. Матрицы и основные действия над матрицами. Свойства действий над матрицами.
- •Вопрос 10. Определители матриц. Основные свойства определителей.
- •Вопрос 11. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения.
- •Вопрос 12. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы.
- •Вопрос 13. . Ранг матрицы. Практические приёмы вычисления ранга матрицы.
- •Вопрос 15. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Вопрос 16. Решение систем методом Крамера
- •17.Решение систем матричным методом.
- •Вопрос 18. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных алгебраических уравнений в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли.
- •Вопрос 21. Прямая на плоскости и в пространстве.. Взаимосвязь различных видов уравнений прямой.
- •Вопрос 23-24. Плоские кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола). Канонические уравнения кривых второго порядка.
- •Вопрос 25. Последовательности. Определение, способы задания, действия с последовательностями.
- •26.Предел последовательности. Сходимость. Второй замечательный предел
- •27.Свойства сходящихся последовательностей.
- •28.Определение функции. Способы задания функции.
- •29.Предел функции. Непрерывность в точке, на интервале. Свойства.
- •Вопрос 27. . Основные теоремы о пределах.
- •Вопрос 28. Бесконечно малые величины, основные теоремы о бесконечно малых.
- •Вопрос 29. Бесконечно большие величины, связь бесконечно малых с бесконечными величинами.
- •Вопрос 36. .Дифференцируемость функции, первый дифференциал и производная первого порядка.. Связь непрерывности и дифференцируемости
- •Вопрос 31. Правила дифференцирования. Таблица производных.
- •Вопрос 39. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля).
- •Вопрос 40. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Связь теоремы Коши с теоремой Лагранжа.
- •Вопрос 41.Теорема Коши́
- •Вопрос 43. Формула Тейлора
- •42.Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.
- •Вопрос 45. Функции нескольких переменных. Поверхности и линии уровня, поверхности и кривые безразличия.
- •47.Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области.
- •48.Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •Вопрос 50. Производные и дифференциалы высших порядков. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных в моделировании социально экономических процессов.
- •Вопрос 51. Локальные и условные экстремумы функций нескольких переменных.
- •Вопрос 53. Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица элементарных интегралов.
- •54. Свойства неопределённого интеграла.
- •Вопрос 55. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование методом подстановки.
- •56.Метод интегрирования по частям (с выводом)
- •57.Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •58.Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •59.Интегрирование простейших иррациональностей. Подстановки Эйлера.
- •60.Биномиальный интеграл.
- •61.Интегрирование функции .
- •62.Определенный интеграл и его геометрический смысл.
- •63.Основные свойства определенного интеграла.
- •64.Замена переменной в определенном интеграле
- •65.Вычисление определенного интеграла по частям.
- •Вопрос 67. Интеграл с переменным верхним пределом. Интегралы по бесконечным промежуткам.
- •Главное значение несобственного интеграла на бесконечном промежутке интегрирования
- •Геометрический смысл несобственных интегралов с бесконечным пределом интегрирования
- •Вопрос 68. Формула Ньютона-Лейбница. Интегралы по симметричным промежуткам от чётных и нечётных функций. Оценки интегралов. Интегрально среднее.
- •71.Вычисление площади плоской фигуры.
- •72.Вычисление длины дугиплоской кривой.
- •73.Вычисление площади и объема поверхности тела вращения.
- •Вопрос 75. Признаки сходимости интегралов по бесконечным промежуткам.
- •Вопрос 76. Интегралы от разрывных функций. Признаки сходимости интегралов от разрывных функций.
Главное значение несобственного интеграла на бесконечном промежутке интегрирования
Может оказаться, что несобственного интеграла в смысле (9.3) нет, но существует интеграл в смысле а = b,
,
и это значение интеграла называется его главным значением:
.
Если функция f(x) нечётная, то интеграл по симметричному промежутку (- а, + а) равен нулю, и поэтому для нечётной функции
.
Если функция f(x) чётная, то интеграл по симметричному промежутку (- а, + а) равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка интегрирования, и поэтому для чётной функции
.
Например,
.
Геометрический смысл несобственных интегралов с бесконечным пределом интегрирования
Несобственным интегралам можно придать смысл площади бесконечной фигуры. Пример 1. Вычислить . Решение. По определению имеем
.
Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница
.
Тогда
,
т.е. искомый несобственный интеграл сходится к 1. Аналогично, можно убедиться, что интеграл
сходится к , если m > 1, и расходящимся, если m ≤ 1. Геометрический смысл этого результата состоит в том, что среди всех кривых вида гипербола является своеобразным "порогом". Если кривая данного вида на интервале [1; + ∞) лежит ниже гиперболы, то полубесконечная фигура имеет конечную площадь. Если же кривая лежит выше или совпадает с гиперболой , то соответствующая фигура имеет бесконечную площадь.
Пример 2. Вычислить . Решение. Исследуем на сходимость интегралы и :
т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но
т.е. этот интеграл расходится и, следовательно, расходится несобственный интеграл .
Вопрос 68. Формула Ньютона-Лейбница. Интегралы по симметричным промежуткам от чётных и нечётных функций. Оценки интегралов. Интегрально среднее.
Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:
Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции F(x) для подынтегральной функции ƒ (х).
Например,
При вычисленииопределенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции
сделана подстановка х = φ(t).
Теорема 39.1. Если:
1) функция х = φ(t) и ее производная х' = φ'(t) непрерывны при t є [а;β];
2) множеством значений функции х = φ(t) при t є [а,β] является отрезок [а; b];
3) φ(а)=а и φ(β)=b.
то
▼Пусть F(x) есть первообразная для ƒ(х) на отрезке [а;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница Так как (F(φ(t))' = f(φ(t)) - φ'(t), то F(φ(t)) является первообразной для функции f(φ(t)) -φ'(t), t [а;β]. Поэтому по формуле Ньютона—Лейбница имеем
▲
Формула (39.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Отметим, что:
1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки х = φ(t) применяют подстановку t = g(x);
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!
Пример 39.1. Вычислить
Решение: Положим х = 2 sin t, тогда dx = 2 cos t dt. Если х=0, то t = 0; если x = 2, то t = . Поэтому
39.3. Интегрирование по частям
Теорема 39.2. Если функции u = u(х) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а; b], то имеет место формула
▼На отрезке [а; b] имеет место равенство (uv)' = u'v+uv'. Следовательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции u'v+uv'. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Следовательно,
▲
Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Пример 39.2. Вычислить
Решение: Положим
Применяя формулу (39.2), получаем
Пример 39.3. Вычислить интеграл
Решение: Интегрируем по частям. Положим
Поэтому