71.Вычисление площади плоской фигуры.

Вычисление площадей плоских фигур. Рассмотрим несколько случаев вычисления площадей плоских фигур.

П ример. Сделать чертеж и вычислить площадь фигуры ограниченной данными линиями , .

			8
			6
			4
			2
- 6	-4	-2	0	2	4	6
			-2

кв. ед.

72.Вычисление длины дугиплоской кривой.

Если кривая на отрезке является гладкой (т.е. производная - непрерывная функция), то длина дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами и , находится по формуле .

Пример. Найти длину дуги кривой от до .

Так как , то . Пусть , , , , тогда .

Пример. Найти длину дуги кривой между точками и в первой четверти.

Длину дуги кривой определим по формуле .Т. к. , , то .

73.Вычисление площади и объема поверхности тела вращения.

Площадь поверхности, образованной вращением оси дуги гладкой кривой между точками и , находится по формуле .

Пример. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси дуги кубической параболы при .

Так как , то . Пусть , , , , тогда .

Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой , осью абсцисс и двумя прямыми и , находится по формуле .

Пример. Найти объем тела, получающегося при вращении кривой вокруг оси от до . куб. ед.

Вопрос 75. Признаки сходимости интегралов по бесконечным промежуткам.

Интегралы, получаемые двукратным переходом к пределу, называются несобственными.

_aò^∞f(x)dx=lim _aò^Rf(x)dx   при R®∞.

Если   такой предел существует, то говорят, что интеграл сходится.

    ПРИМЕР:

Критерий Коши сходимости интеграла:

Чтобы несобственный интеграл по бесконечному промежутку сходился необходимо и достаточно, чтобы "e>0 $R(e) то есть R,R^’>R(e)Þ ê_Rò^Rf(x)dx÷=

ê(_aò^R’-_aò^R)f(x)dx÷<e.

Абсолютная и условная сходимости:

ü     Если интеграл модуля функции по бесконечному промежутку сходится, то говорят, что интеграл абсолютно сходится.

ü     Если интеграл модуля функции по бесконечному промежутку расходится, а интеграл этой функции по этому же промежутку сходится, то такой интеграл сходится условно.

Признаки сравнения:

Если çf(x)ú£g(x) и _aò^∞g(x)dx – сходится, то _aò^∞êf(x)çdx – абсолютно сходится.

Доказательство:

g(x)>0, _Rò^R’çf(x)dx÷£_Rò^R’g(x)dx<eÞ_Rò^R’çf(x)dxç - сходится.