- •Вопрос 2.Множества и основные действия над множествами. Свойства действий над множествами.
- •Вопрос 3. Важнейшие числовые системы (натуральные, целые, рациональные и вещественные числа).
- •Вопрос 4.Важнейшие математические структуры (пространство n измерений. Метод координат).
- •Вопрос 5. Линейное пространство и его важнейшие свойства.
- •§2. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов.
- •§8. Линейные операторы.
- •§9. Действия с линейными операторами.
- •Вопрос 6. Сложение векторов, умножение векторов на числа. Вычитание векторов.
- •Вопрос 7. Линейная зависимость (независимость) элементов. Размерность и базис линейного пространства.
- •Вопрос 8. Норма элемента, расстояние между элементами пространства. Ортонормированный базис.
- •Вопрос 9. Матрицы и основные действия над матрицами. Свойства действий над матрицами.
- •Вопрос 10. Определители матриц. Основные свойства определителей.
- •Вопрос 11. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения.
- •Вопрос 12. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы.
- •Вопрос 13. . Ранг матрицы. Практические приёмы вычисления ранга матрицы.
- •Вопрос 15. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Вопрос 16. Решение систем методом Крамера
- •17.Решение систем матричным методом.
- •Вопрос 18. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных алгебраических уравнений в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли.
- •Вопрос 21. Прямая на плоскости и в пространстве.. Взаимосвязь различных видов уравнений прямой.
- •Вопрос 23-24. Плоские кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола). Канонические уравнения кривых второго порядка.
- •Вопрос 25. Последовательности. Определение, способы задания, действия с последовательностями.
- •26.Предел последовательности. Сходимость. Второй замечательный предел
- •27.Свойства сходящихся последовательностей.
- •28.Определение функции. Способы задания функции.
- •29.Предел функции. Непрерывность в точке, на интервале. Свойства.
- •Вопрос 27. . Основные теоремы о пределах.
- •Вопрос 28. Бесконечно малые величины, основные теоремы о бесконечно малых.
- •Вопрос 29. Бесконечно большие величины, связь бесконечно малых с бесконечными величинами.
- •Вопрос 36. .Дифференцируемость функции, первый дифференциал и производная первого порядка.. Связь непрерывности и дифференцируемости
- •Вопрос 31. Правила дифференцирования. Таблица производных.
- •Вопрос 39. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля).
- •Вопрос 40. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Связь теоремы Коши с теоремой Лагранжа.
- •Вопрос 41.Теорема Коши́
- •Вопрос 43. Формула Тейлора
- •42.Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.
- •Вопрос 45. Функции нескольких переменных. Поверхности и линии уровня, поверхности и кривые безразличия.
- •47.Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области.
- •48.Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •Вопрос 50. Производные и дифференциалы высших порядков. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных в моделировании социально экономических процессов.
- •Вопрос 51. Локальные и условные экстремумы функций нескольких переменных.
- •Вопрос 53. Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица элементарных интегралов.
- •54. Свойства неопределённого интеграла.
- •Вопрос 55. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование методом подстановки.
- •56.Метод интегрирования по частям (с выводом)
- •57.Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •58.Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •59.Интегрирование простейших иррациональностей. Подстановки Эйлера.
- •60.Биномиальный интеграл.
- •61.Интегрирование функции .
- •62.Определенный интеграл и его геометрический смысл.
- •63.Основные свойства определенного интеграла.
- •64.Замена переменной в определенном интеграле
- •65.Вычисление определенного интеграла по частям.
- •Вопрос 67. Интеграл с переменным верхним пределом. Интегралы по бесконечным промежуткам.
- •Главное значение несобственного интеграла на бесконечном промежутке интегрирования
- •Геометрический смысл несобственных интегралов с бесконечным пределом интегрирования
- •Вопрос 68. Формула Ньютона-Лейбница. Интегралы по симметричным промежуткам от чётных и нечётных функций. Оценки интегралов. Интегрально среднее.
- •71.Вычисление площади плоской фигуры.
- •72.Вычисление длины дугиплоской кривой.
- •73.Вычисление площади и объема поверхности тела вращения.
- •Вопрос 75. Признаки сходимости интегралов по бесконечным промежуткам.
- •Вопрос 76. Интегралы от разрывных функций. Признаки сходимости интегралов от разрывных функций.
§2. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов.
Определение 1. Сумма называется линейной комбинацией элементов а1, а2,…,аn с коэффициентами λk .
Определение 2. Система элементов линейного пространства {a1,…,an} называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ1,…,λn не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.
Определение 3. Система элементов линейного пространства {a1,…,an} называется линейно
независимой, если ее линейная комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами:
Имеют место несколько простых утверждений.
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной независимости). a1,…,an – линейно зависима когда хотя бы один из элементов является линейной комбинацией остальных.
Теорема 2. Если один из элементов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.
{ }
Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
{ }
Евклидовы пространства.
Определение 1. Линейное пространство E = {f, g, h, …} называется евклидовым, если
ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением: . При этом, для выполняются аксиомы:
§8. Линейные операторы.
Определение 1. Функция (отображение) А, определенная на линейном пространстве Ln , область значений которой принадлежит линейному пространству Lm (здесь n и m – размерности соответствующих пространств) называется оператором :
Если
Все прообразы нулевого элемента Lm называют ядром оператора А:
Определение 2. Оператор А называется линейным, если для выполняется равенство:
Определение 3. Матрицей линейного оператора А называется матрица (будем обозначать ее через Аmn ), столбцами которой являются координаты образов базисных элементов {e} в базисе {f}, т.е. , если
, то или в матричной форме:
Замечание. Оператор, в частности линейный, определяет некоторое действие на элементы линейного пространства и не зависит от базиса. В свою очередь, матрица линейного операторазависит как от базиса пространства прообразов, так и от базиса пространства образов.
Теорема 1. Образ вектора х равен произведению матрицы линейного оператора на столбец его координат: если у = А(х), то
Таким образом, каждому линейному оператору ставится в соответствие матрица. Верно и обратное: каждой матрице можно поставить в соответствие линейный оператор. {Зададим оператор А формулой
}
В настоящем курсе используются операторы, прообразы и образы которых принадлежат одному и тому же линейному пространству L . Матрицы таких операторов квадратные, а образы и прообразы, естественно, представляются в едином базисе. Будем обозначать матрицу оператора А как An (n – размерность пространства), либо Ae ( {e} - базис пространства). В дальнейшем будем рассматривать только такие операторы.
Одной из особенностей этих операторов является наличие определителя у его матрицы.
Определение 4. Линейный оператор из L в L , определитель матрицы которого равен нулю, называется вырожденным и невырожденным в противном случае.
Замечание. Матрицу невырожденного оператора можно рассматривать как матрицу перехода от одного базиса к другому.
Теорема 2. При переходе к новому базису матрица линейного оператора меняется по следующему закону:
{Пусть {f} – новый базис, {e} – старый. 1) (§5,8);
2) }
Следствие. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса.
{ }
Определение 4. Матрицы А и называются подобными.
Свойства подобных матриц:
1. { см. выше}
2. матрица обратная к подобной подобна обратной матрице.