Вопрос 40. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Связь теоремы Коши с теоремой Лагранжа.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Вопрос 41.Теорема Коши́

Теорема Коши о среднем значении является обобщением теоремы Лагранжа о конечных приращениях

Пусть на отрезке определены две непрерывные фунции . Пусть также существует конечная или бесконечная производная f'(x), а функция g дифференцируема, то есть , и

Тогда

Пример. Проверить, что функции и на отрезке удовлетворяют условиям Коши.

Функции и непрерывны при всех , а значит, и на отрезке ; их производные и существуют везде; кроме того, на заданном отрезке не обращается в нуль.

Следовательно, к данным функциям применима теорема Коши: , т.е. , откуда находим два значения : , .

Из полученных значений только удовлетворяет условию задачи, так как является внутренней точкой отрезка .

Вопрос 43. Формула Тейлора

Формула Тейлора. Пусть функция имеет в точке и некоторой ее окрестности производные порядка . Пусть - любое значение аргумента из указанной окрестности, . Тогда между точками и найдется точка така, что справедлива формула Тейлора .

42.Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида или , то .

Доказательство. Рассмотрим доказательство теоремы для неопределенности вида при .

Для простоты будем предполагать, что функции и , а также их производные непрерывны в точке , причем и . В этом случае .

Применяя теорему Лагранжа для функций и на отрезке , получим , где , .

При в силу непрерывности производных и имеем и . Используя теорему о пределе частного получаем равенство .

Пример. Раскрыть неопределенность по правилу Лопиталя и найти предел функции: .

.

44.Правила исследования функций.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения функции.

Область определения функции : .

2. Исследование функции на четность-нечетность.

Так как , то функция общего вида.

3. Исследование функции на наличие вертикальных асимптот.

Прямая является вертикальной асимптотой, так как , .

4. Исследование поведение функции в бесконечности, нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.

Так как , то функция горизонтальных асимптот не имеет.

Так как , , то прямая является наклонной асимптотой.

5. Экстремумы и интервалы монотонности функции.

Найдем производную первого порядка . Приравняем первую производную к нулю , откуда , . Знаки производной первого порядка указаны на рисунке.

	-	+	-
	-1	0

Функция возрастает на интервале , убывает - , . Точка является точкой минимума .

6. Определим интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Найдем производную второго порядка . Приравняем вторую производную к нулю , откуда . Знаки производной второго порядка указаны на рисунке.

	+	+
	0

Функция выпукла вверх на интервалах , . Точек перегиба нет.

7. Точки пересечения с осями координат.

Точка является точкой пересечения функции с осью абсцисс.