Вопрос 45. Функции нескольких переменных. Поверхности и линии уровня, поверхности и кривые безразличия.

Функции нескольких переменных. Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y). z=f(x,y)

Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.

Частное и полное приращение функции.

Полное приращение функции Dz=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y)

Частное приращение функции Dx z=f(x+Dx)-f(x,y)

Поверхности и линии уровня

Поверхностью уровня поля называют геометрическое место точек, в которых поле принимает постоянное значение. Согласно такому определению, уравнение поверхности уровня будет иметь вид: или

Кривые безразличия — представляют собой совокупность точек на координатной плоскости, каждая из которых является потребительским набором, обеспечивающим потребителю одинаковый уровень удовлетворения его потребностей. Кривая безразличия является графическим отображением набора безразличия

Определение функции нескольких переменных. Линии уровня.

Определение. Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Определение. Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно .

Пример. Построить линию уровня функции .

Линия уровня это кривая на плоскости задаваемая уравнением или . Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом .

47.Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области.

Определение. Число называется пределом функции при и , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется положительное число , такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстоянии меньшее, чем , выполняется неравенство .

Пример. Найти предел .

Обозначим . Условие , равносильно тому, что . Запишем предел в виде .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она: 1) определена в точке ; 2) имеет конечный предел при и ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Определение. Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию .

Функция как отношение двух многочленов (которые представляют собой функции, непрерывные на всей плоскости) является непрерывной на всей плоскости, за исключением точки . В этой точке числитель равен единице, а знаменатель обращается в нуль и, следовательно, функция не определена.

48.Дифференцирование функций нескольких переменных.

Определение. Частной производной функции нескольких переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Пример. Найти частные производные , функции ; .

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде .

Теорема. Если частные производные функции существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.

Дифференциал функции двух переменных первого и высших порядков.

Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е. .

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Так как , , то .