Вопрос 23-24. Плоские кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола). Канонические уравнения кривых второго порядка.

Плоские кривые. Все множество плоских кривых можно разделить на циркульные и лекальные.    Циркульнойназыв. кривую, кот.можно построить с помощью циркуля. Это окружность, овал, завиток.

Эллипс - кривая второго порядка, сумма расстояний от любой точки которой до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная большой оси эллипса.

Парабола - кривая второго порядка, расстояние от любой точки которой до фокуса равно расстоянию от этой точки до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

Гипербола - кривая второго порядка, разность расстояний от любой точки которой до двух фокусов есть величина постоянная, равная действительной оси гиперболы. Вдоль действительной оси расположены ветви гиперболы.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго порядка при помощи подходящего преобразования начала координат может быть приведено к виду

Уравнение выражает тот факт, что невырожденная кривая второго порядка является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно. Кроме того, при кривая является окружностью, при  — эллипсом, при  — параболой, при  — гиперболой.

Уравнение директрисы кривой выражается уравнением а координаты фокуса Директриса перпендикулярна оси симметрии, проходящей через фокус и вершину кривой (фокальная ось). Расстояние между фокусом и директрисой равно

Вопрос 25. Последовательности. Определение, способы задания, действия с последовательностями.

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность : .

Числа называются членами последовательности, а число - общим или членом последовательности.

Примеры числовых последовательностей:

- 2, 4, 6, 8, …, , … (монотонная неограниченная),

- 1, 0, 1, 0, … (не монотонная, ограниченная).

Закон образования последовательности дается формулой его общего члена (одной или несколькими). Последовательность может быть сформирована также с помощью рекуррентного соотношения или словесного описания общего члена.

Пример. Дана формула общего элемента последовательности . Написать пять первых элементов последовательности.

Полагая последовательно в общем элементе получаем , , , , .

Действия с последовательностями:

-сложение –вычитание –умножение -деление

26.Предел последовательности. Сходимость. Второй замечательный предел

Определение. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер (зависящий от , ), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство: .

Предел числовой последовательности обозначается или при . Последовательность, имеющая предел, называется сходящийся, в противном случае – расходящейся.

Пример. Доказать, что для последовательности .

Пусть, например, . Тогда неравенство будет иметь вид или , т.е. выполняется при . Аналогично для при .

Для любого неравенство или выполняется при .

Итак, при любом существует такой номер (или равный целой части ), что для всех (при для , при для и т.д.) выполняется неравенство , а это и означает, что .