47. . Производная функции по направлению

Пусть функция непрерывная и дифференцируемая, вектор задает направление. Пусть имеется точка и в направлении от нее точка

Вектор имеет координаты , ,

, , , . –направляющие

.(формулы)

48. Градиент функции, его свойства

Градиентом функции называется ,  един.векторы

Теорема 3.5. Производная функции по направлению вектора равняется проекции градиента этой функции на это направление, т. е.

.Проекция некоторого вектора на направление вектора равняется

.  един.вектор, совп. по направлению с .

.

Свойство 1. Производная функции по направлению вектора достигает своего наибольшего значения, если направление вектора совпадает с направлением градиента этой функции.

Свойство 2. Производная функции по направлению вектора равняется нулю, если направление вектора перпендикулярно направлению градиента этой функции.

.

49. Формула Тейлора для функций двух переменных

Теорема 3.6. Если в некоторой -окрестности точки функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные до (n1)-го порядка включительно, то для любой точки этой окрестности справедлива формула

,где .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Формула Маклорена для функции одной переменной

.

Новая функция

.1 пр . 2пр. ,

Запишем формулу Маклорена

.

Учитывая, что , формулу Маклорена можно записать в виде

.

50. Необходимый признак локального экстремума.Теорема 3.7. Если точка является точкой экстремума функции , то частные производные в этой точке либо равны ,либо не существуют.

Д о к-в о. Пусть точка является мочкой максимума функции , т. е. сущ. -окрестность этой точки такая, что . в этой окрестности , поэтому точка является также точкой максимума функции одной переменной х. По необходимому признаку локального экстремума функции одной переменной производная в этой точке либо не существует, либо равна нулю.

Достаточный признак локального экстремума функции двух переменных

Теорема 3.8. Если функция в окрестности точки является непрерывной и имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, и частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то:

1) если , ,где , , ,то является т.мин ;2) если , то является т.макс;3) если , то не является т. экстр.4) если , то невозможно опред.

Д о к-в о.Согласно формуле Тейлора пр

,где .

По условию теоремы .

Дифф. 2 порядка .

; , т. е. лок. Мин. в точке

сл-но .

Если , то .Тогда точка лок. макс Следовательно, . .

Если минор второго порядка ,

Если же , в точке равен нулю, то доп.исследования