5.8. Критерий Неймана-Моргенштерна

Допустим, что наилучшей может быть не одна, а несколько игрушек, среди которых нельзя назвать наилучшую. Это условие называется внутренней устоичивостью решения.

Потребуем, чтобы для каждой игрушки, не вошедшей в группу лучших, можно было найти хотя бы одну лучшую среди вошедших в группу лучших. Это условие называется внешней устойчивостью решения.

Множество решений, удовлетворяющих требованию внутренней и внешней устойчивости, называется оптимальным по Нейману-Моргенштерну или просто Н-М решением.

В рассмотренном выше примере Н-М решением будет пара рыбок СР, ЦР, так как:

• внутренняя устойчивость ЦР и СР выражается в соотношении 50/50;

• внешняя устойчивость выражается в том, что для не вошедших в группу лучших игрушек ЦП ЦР, а СП СР. (ЦП/ЦР=40/60, а СП/СР=20/80).

Каждая игрушка вне множества Н-М (наилучших), взятая в отдельности, может быть лучше (предпочтительнее) каких либо отдельных игрушек из Н-М множества. Но всегда найдется такая игрушка в Н-М множестве, которая будет предпочтительнее ее.

Понятие Н-М множества можно проиллюстрировать в терминах графов. Например рассмотрим граф:

Определим Н-М множества, которые удовлетворяют внешним и внутренним условиям устойчивости. В данном примере это множество пусто. Если возьмем любую пару вершин, то в ней нет внутренней устойчивости, так как в паре есть предпочтение.

Н-М множество можно рассматривать как обобщение множества Парето на случай выбора лучших объектов по качественным критериям, на основе предпочтений, а не количественныхзначений критериев.

Глава 6. Основы теории выбора оптимальной стратегии действий

6.1. Основные понятия теории игр

В основе методов выбора оптимальной стратегии действий лежит теория игр. Игрой называется математическая модель действий двух или более сторон, каждая из которых стремится максимизировать свой выигрыш. Рассмотрим стандартную математическую модель — таблицу решений.

	В1	В2	...	Вm
А1	F11	F12	...	F1m
А2	F21	F22	....	F2m
...	...	...	....	....
Аn	Fn1	Fn2	....	Fnm

В теории игр эта таблица интерпретируется следующим образом:

• А₁.....А_n — 1-я играющая сторона;

• B₁.....B_m — 2-я играющая сторона.

Значения Fij — выигрыш для стороны 1 и проигрыш для стороны 2. Сама таблица решений называется матрицей игры. Может оказаться, что матрица выигрыша для одной стороны не совпадает с матрицей проигрыша для другой стороны, тогда такая игра называется биматричной.

Если выигрыш одной стороны, всегда означает проигрыш другой, то такая игра называется антагонистической. Могут быть игры, в которых обе стороны в выигрыше — неантагонистические игры. Так как выигрыши у разных сторон различны, то неантагонистические игры являются биматричными.

Выбор одной из альтернатив A1, A2, ..., An называется стратегией первого игрока. Выбор одной из альтернатив B1, B2, ...,Bm называется стратегией второго игрока. В совокупности обе стратегии называются стратегией игры.

Значение выигрыша и проигрыша в результате игры называется значением игры.

Если сумма выигрыша одного игрока и проигрыша другого постоянна, то игра называется игрой с постоянной суммой. Если постоянная сумма равна нулю, то это игра с нулевой суммой.