5.7. Парадоксы голосования.
В ЗПР с нечисловыми критериями могут возникнуть тупиковые ситуации, не позволяющие решить задачу на базе обычных критериев, основанных на здравом смысле. Такие ситуации носят название парадоксов. Они могут возникнуть при определении лучшего объекта методом голосования, который, как обычно считается, должен дать наилучшее коллективное решение. Однако это не всегда так. Рассмотрим парадоксы голосования на следующем примере. Пусть имеется 4 типа игрушек:
ЦП — цветные птички;
СП — серебристые птички;
ЦР — цветные рыбки;
СР — серебристые рыбки.
Пусть имеется четыре группы детей, предпочтения которых распределились следующим образом:
группа 1 СР СП ЦР ЦП — 10%
группа 2 СП ЦР ЦП СР — 20%
группа 3 ЦР ЦП СР СП — 30%
группа 4 ЦП СР СП ЦР — 40%
Вопрос: Какой тип игрушек надо выпускать, чтобы удовлетворить наибольшее количество детей?
1. Пусть вопрос решается по относительному большинству. Тогда в первом туре голосования выигрывают сторонники ЦП, так как ЦП на первое место поставили 40% голосовавших. Но тогда сторонники ЦР, отдавшие предпочтение ЦР перед ЦП потребуют второго тура голосования и соберут 10+20+30=60% голосов, т. е. больше чем сторонники ЦП. Но тогда сторонники СП, отдавшие предпочтение СП перед ЦР, потребуют третьего тура голосования и выиграют, так как наберут 10+20+40=70% голосов, т. е. больше чем сторонники ЦР.
Для дальнейшего подсчета голосов составим таблицу голосования, в которой учтены указанные выше предпочтения всех четырех групп детей для каждой пары игрушек. Число в таблице, находящееся на пересечении строки X и столбца Y, указывает, какое общее количество голосов собрала игрушка X при её сравнении с игрушкой Y Так предпочтению ЦП перед СП отдали в сумме 70 процентов голосовавших, а обратному предпочтению только 30.
|
ЦП |
ЦР |
СП |
СР |
ЦП |
Х |
40 |
70 |
90 |
ЦР |
60 |
Х |
30 |
50 |
СП |
30 |
70 |
Х |
20 |
СР |
10 |
50 |
80 |
Х |
Из этой таблицы вытекают следующие соотношения:
В соответствии с этой таблицей в четвертом туре голосования сторонники СР выиграют у сторонников СП, т.к. СР/СП=80/20. Но тогда снова воспрянут духом сторонники ЦП, потребуют пятого тура голосования и выиграют его у сторонников СР, так как ЦП/СР=90/10, после чего можно начинать все сначала. Таким образом, принцип относительного большинства не позволяет определить наилучший тип игрушки.
Рассмотрим другие системы голосования.
2. Кубковая или олимпийская система. В этом случае результат голосования будет зависеть от разбиения участников на группы.
В третьем варианте, при выигрыше ЦП у СП, можно сравнивать ЦП с равносильными ЦР и СР (у них ничья). Но оказывается, что результат будет зависеть от выбора первого соперника ЦП — если им будет СР, а потом ЦР, то выигрывает ЦР, если наоборот — сначала соперник ЦР, а потом СР, то результатом будет ничья. Таким образом, и здесь результат голосования неоднозначен.
3. Турнирная система. Будем рассматривать таблицу как турнирную. Тогда каждый вид игрушки собирает число голосов, равное сумме чисел в соответствующей строке таблицы голосования:
ЦП=40+70+90=200
ЦР=140
СП=120
СР=140
Так как мы хотим определить лучшую игрушку, то можно удалить из таблицы голосования худшую игрушку, вычеркнув соответствующую строку и столбец для СП.
После удаления из таблицы строки и столбца СП получаем после пересчета:
ЦП=130
ЦР=110
СР=60
После аналогичного удаления СР получаем:
ЦП=40
ЦР=60
Выигрывает ЦР, хотя в двух предыдущих случаях выигрывала ЦП. Выигрыш ЦР — нелогичен. Таким образом, ни одна из коллективных систем не даёт однозначного ответа на вопрос о лучшей игрушке. Чтобы определить лучшую игрушку, нужно скорректировать понятие оптимальности. Это понятие оптимальности формируется с помощью критерия Неймана-Моргенштерна.