5.3 Основные операции над отношениями

Бинарные отношения — это множества пар элементов, связанных этими отношениями, поэтому к отношениям применимы все операции, выполняемые над множествами:

• обьединение;

• пересечение;

• равенство;

• включение;

• дополнение.

Пусть и два разных отношения, тогда:

1. Включение обозначает, что все пары (а, b), находящиеся в отношении , находятся также в отношении , но не наоборот

Пример: если - отношение доминирования, - отношение предпочтения, то все пары элементов (а, b), находящиеся в отношении доминирования, находятся также и в отношении предпочтения, но не наоборот.

2. Равенство означает, что эти отношения состоят из одних и тех же упорядоченных пар.

Пример: если - отношение равенства первого элемента пары второму, - отношение равенства второго элемента пары первому, то

3. Пересечение — это множество упорядоченных пар, одновременно принадлежащих отношениям и

Пример: если - отношение доминирования или безразличия между первым элементом пары и вторым, а

- отношение доминирования или безразличия между вторым элементом пары и первым, то, - это множество пар, находящихся в отношении безразличия.

4. Объединение — это множество упорядоченных пар, принадлежащих хотя бы одному или

Пример: если - отношение безразличия, - отношение доминирования, то все пары элементов (а, b), находящиеся в отношении сравнения, находятся либо в отношении доминирования, либо в отношении безразличия. Все эти пары принадлежат объединению указанных отношений.

5. Разность — это множество пар, принадлежащих множеству , но не

Пример: в предыдущем примере пары, в которых первый элемент только доминирует над вторым, но не находится с ним в отношении безразличия, находятся в отношении

Операции обьединения, пересечения отношений и другие могут относиться не только к двум отношениям, но и к их группам.

Помимо типовых существуют специальные операции над отношениями.

1. Обращение отношений — это изменение порядка первой и второй компоненты пар. Если пара (a, b) , то пара (b, a) . Графически операция обращения отражается изменением направления стрелки:

Таблично обращение означает замену строки столбцом, а столбца строкой. Обращение соответствует операции транспонирования булевой матрицы отношений.

2. Умножение отношений.

Две пары называются примыкающими, если вторая компонента первой пары равна первой компоненте второй пары. Пусть пары (a, b), (b, c) — примыкающие. Тогда произведение примыкающих пар определяется следующим образом: (a, b)*(b, c)=(a, c)

Произведением отношений и называется новое отношение , состоящее из произведений всех примыкающих пар, первая из которых принадлежит отношению , а вторая пара принадлежит отношению . Если пары (a, b) , пары (b, c) ,, то пары (a, c)

Пример Пусть — отношение “быть женой”, пусть — отношение “быть отцом”, тогда означает, что существует такое z, с которым x и y образуют примыкающие пары, то есть что . В принятом смысле отношений это означает, что x — жена z, z — отец y, следовательно, означает, что x — мать y

Графически, принадлежность пары (a, c) произведению отношения означает, что из a в с можно попасть за два шага; первый шаг по дуге с отношением , а второй — с отношением :

Если отношения заданы своими графами, то произведение этих отношений можно получить, перемножая матричные представления их графов.

Пример. Пусть заданы графы отношений

Запишем матричные представления этих графов

Матрица графа :

	a	b	c
a			1
b	1
c		1

Матрица графа :

	a	b	c
a	1		1
b
c

Перемножим эти матрицы. Получим матрицу произведения отношений.

	a	b	c
a
b
c	1		1

Этой матрице соответствует граф произведения отношений

Связь (с, а) образовалась от примыкающих пар (с, b) из графа отношения и (b, a) из графа отношения , а кольцевая связь (с, с) – от примыкающих пар (с, b) из графа отношения , и (b, с) из графа отношения .