5.4. Основные свойства отношений

1. Рефлексивность. Отношение на множестве А рефлексивно, если каждый элемент множества А находится в отношении с самим собой, т.е.

(a, a) для a

Графически это означает

В таблице булевой матрицы отношений рефлексивность выражается в том, что все диагональные клетки равны единице.

Пример: Отношение равенства на множестве чисел рефлексивно, так как каждое число равно самому себе.

2. Антирефлексивность. Если отношение (а, а) не имеет места ни для одного элемента множества А, то — антирефлексивное отношение.

Пример:

Отношение “больше” антирефлексивно на можестве действительных чисел, так как каждое число не может быть больше самого себя.

3. Симметричность. Если для всех пар, принадлежащих отношению , справедливо, что если из (a, b) следует, что (b, a) , то — симметричное отношение.

Графически симметричность обозначается:

Таблично симметричность выражается симметрией булевой матрицы отношений относительно главной диагонали.

4. Ассимметричность. Отношение ассиметрично, если для всякой пары (a, b) обратная пара (b, a) .

Пример:

Отношение равенства на множестве действительных чисел симметрично, а отношения “больше” и “меньше” ассиметричны. Отношение “больше-равно” содержит как симметричную, так и ассиметричную части.

5. Транзитивность. Отношение транзитивно, если из условия: пара (a, b) и пара (b,c) следует, что пара (a, c) .

Графически транзитивность пары (a, c) обозначается

5.5. Два подхода к выявлению предпочтений в зпр с нечисловыми критериями.

Выявить предпочтение на множестве обьектов А, это значит указать множество всех тех пар обьектов (а, b), для которых обьект а предпочтительней, чем b в каком-то смысле. Если между а и b нельзя установить предпочтение, то эти обьекты либо безразличны, т.е. между ними отношения безразличия, либо они не сравнимы.

При выявлении предпочтения возможны два подхода:

1. Субьективно-вкусовой или психологический подход.

Пример:

Пусть имеем четыре напитка: чай, кофе, лимонад, компот. Для ЛПР чай лучше компота, кофе лучше компота и лимонада, а лимонад и компот — равноценны. Тогда можно составить таблицу “доминирование-безразличие”. Будем заполнять таблицу по принципу:

аij=1, если i-ый объект лучше объекта j;

аij=0, если i-ый объект хуже объекта j или безразличен к нему

Таблица для нашего примера будет иметь вид:

	чай	кофе	компот	лимонад
Чай	0		1
Кофе		0	1	1
Компот	0	0	0	0
лимонад		0	0	0

Таблица заполнена неполностью, потому что часть предпочтений неизвестна.

2. Логический подход — включает три этапа:

• выделяются частные критерии, по которым происходит выбор предпочтений;

• составляется таблица «альтернативы-частные критерии», в которой для каждой альтернативы указываются значения количественных частных критериев или ранги качественных критериев.

• выбирается решающее правило для определения лучшей альтернативы.

Пример. Пусть каждый из напитков в предыдущей таблице характеризуется тремя частными качественными критериями: цвет, запах, вкус. Тогда можно построить таблицу

	Цвет	запах	вкус
Чай	4	3	1
Кофе	3	4	2
Компот	1	1	3
Лимонад	2	2	4

Поскольку рассматриваемые частные критерии – качественные, им даны не количественные, а ранговые оценки (по предпочтениям). Так по цвету предпочтения напитков на ранговой шкале располагаются следующим образом: компот имеет единичный, низший ранг, далее следуют лимонад, кофе и чай, имеющий высший ранг – 4. Ранговые оценки можно рассматривать как баллы. На их основе нужно определить лучший напиток. Для этого необходимо выбрать или создать какое-то решающее правило.