Глава 5. Принятие решений в задачах с нечисловыми критериями
5.1. Основные типы отношений.
В предыдущих задачах предполагалось, что функция полезности Fij имеет численное значение. Однако во многих практических задачах получить численное значение невозможно. Примером такой задачи может служить выбор наилучшего изделия по таким признакам как дизайн, цвет, вкус и т. д. Решить такую задачу — значит найти наилучшее предпочтение, а не численное значение.
Будем называть отношениями свойства, относящиеся к сравнению между собой нескольких объектов по тому или иному признаку. Примерами таких свойств могут быть равенство, неравенство, быть больше, быть меньше, быть лучше, быть хуже в том или ином смысле и др.. Свойства, относящиеся к двум объектам, называются бинарными отношениями. Свойства, относящиеся к трем объектам, называются тернарными отношениями. Свойства, относящиеся к n объектам, называются n-арными отношениями.
Существуют различные типы отношений.
1. Отношение доминирования (доминирование — это превосходство).
Если обьект a доминирует обьект b, то a старше, выше, сильнее, умнее b. На ранговой шкале a находится правее b.
2. Отношение безразличия.
Оно характеризуется тем, что на ранговой шкале а и b занимают одно и тоже место.
3. Отношение несравнимости.
Если а и b не находятся между собой в отношениях доминирования или безразличия, то они находятся в отношении несравнимости.
Пример:
Нельзя сказать, что лучше — желтый цвет или круглая форма.
4. Отношение предпочтения.
Это любое отношение, объединяющее отношения доминирования или безразличия.
Пусть:
— доминирование,
— отношение безразличия, тогда
— отношение предпочтения (знак V —
логическое ИЛИ).
Отношение предпочтения между a и b означает, что a и b сравнимы между собой, т. е. можно указать их места на ранговой шкале.
5. Отношение покрытия.
Если элемент a доминирует элемент b и между ними на ранговой шкале нет других элементов, то говорят , что a покрывает b. На ранговой шкале они находятся рядом.
Пример:
c покрывает b, a покрывает с
6. Отношение порядка.
Элементы а и b находится в отношении порядка, если существует конечная последовательность элементов, которая начинается с а и кончается b, в которой каждый предыдуший элемент покрывает последующий.
Пример:
Для последовательности b, d, c, e, a элементы а и b не находятся в отношении порядка, для последовательности d, c, a элементы a и d находятся в отношении порядка.
5.2. Способы задания отношений.
Пара элементов a
и b отношения
обозначается
(а, b), где a
— первый, b
— второй элемент пары. Если
а
b,
то (а,
b)
(b, а) —
такая пара называется упорядоченной.
Отношения обычно обозначают греческими
буквами
и т. д. Если а
и b находятся
в отношении
,
то записывают (а,
b)
или а
b . Отношения
можно задать тремя способами:
1. Бинарные отношения можно задать перечислением пар элементов, находящихся в рассматриваемом отношении
{(a1,
b1),
..., (an,
bn)}
2. Отношения можно задать графически или аналитически
3. Матричный способ задания отношения
Пусть имеются два множества элементов А и В. Пусть m, n — мощности этих множеств (количество элементов в них). Запишем таблицу С размером mxn, в которой строки соответствуют элементам множества А, столбцы — элементам множества В.
Пусть в этой таблице элементы Сij=1, если аi bj;
Cij=0, если аi, bj не находятся в отношении .
Такая таблица, состоящая из 0 и 1, называется булевой матрицей отношений.
Пример:
