3.4.5. Графический способ построения множества Парето

Множество Парето для двух критериев можно построить графически. Для каждой альтернативы, представленной на графике точкой, строится прямоугольник. На рисунке такие прямоугольники построены для точек 1, 2 и 6. Очевидно, угловая точка каждого прямоугольника является лучшей точкой по отношению ко всем другим, оказавшимся внутри этого прямоугольника, так как у этой угловой точки значения критериев у1 и у2 наибольшие. Поэтому все точки, оказавшиеся внутри построенных прямоугольников, например, точки 8, 4, 5 для прямоугольника с вершиной в точке 6 и точка 2 для прямоугольника с вершиной в точке 1, исключаются из рассмотрения. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут построены прямоугольники для всех точек. Неисключенные точки (в данном случае это точки 1, 3, 9) образуют множество Парето. Заметим, что при других направлениях улучшения критериев y1, y2 правила построения прямоугольников (точнее, углов) и исключения точек будут другими. Например, на приведенном ниже рисунке лучшей будет угловая точка угла 1, а угловые точки для углов 2 и 3 будут исключены.

3.5. Множество Парето и другие критерии оптимальности

3.5.1. Множество Парето и критерий удовлетворения тз

Грамотное задание ТЗ. Неграмотное задание ТЗ

Пусть имеем два частных критерия y₁, y₂ и требования технического задания (ТЗ), выраженное неравенствами: а₁<y₁<а₂; b₁<y₂<b₂ определяющими прямоугольную форму области допустимых значений D критериев y₁, y₂. Взаимное расположение области D и множество Парето может быть различно (см. рисунок). В примере неграмотного задания ТЗ ни одна из точек множества Парето не попадает в область допустимых значений.

3.5.2. Множество Парето и обобщенный критерий в виде самого важного частного и остальных критериев как ограничений.

Пусть каждая альтернатива характеризуется двумя частными критериями y₁ и y₂, где y_{2 —} наиболее важный, и наложено ограничение y₁ > а. Будем искать лучшую альтернативу по критерию y₂, учитывая ограничение на y₁. Тогда альтернатива. отображаемая точкой 1, оптимальна, так как она одновременно принадлежит множеству Парето, удовлетворяет ограничениям на y₁ и в ней y₂ имеет наилучшее значение по сравнению с остальными точками из допустимых.

3.5.3. Множество Парето и требование экстремума одного из частных критериев

В этом случае оптимальные точки соответствуют крайним точкам области кривой множества Парето.

3.5.4. Множество Парето и обобщенный аддитивный критерий

Пусть выбран обобщенный аддитивный критерий:

Y=а₁*y₁+а₂*y₂

Необходимо найти оптимальную точку множества Парето, в которой Y имеет максимальное значение. Для решения этой задачи построим линию уровня критерия Y, т.е. линию постоянных значений Y = const:

а1*y1+а2*y2=const

Отсюда:

Предельное значение положения линии уровня — положение, когда линия уровня касается кривой множества Парето (точка касания — точка оптимума).

Как влияют на положение точки оптимума веса критериев? Из формулы аддитивного критерия видно, что при малом весе a1 наибольший вклад в Y вносит критерий y2, а при малом a2 — критерий y1. Соответственно, угол наклона линий уровня изменяется так, что точка оптимума сдвигается к максимуму критерия у2 или у1