3.5.5. Множество Парето и обобщенный мультипликативный критерий

Пусть альтернатива характеризуется двумя частными критериями y₁ и y₂., и пусть

Для простоты положим a₁ = a₂ = 1. Тогда уравнение линий уровня критерия Y будет иметь вид: y₁*y₂=const. Отсюда получаем уравнение для y₂ как гиперболу: y₂=const/y_{1 .}Увеличение Y приводит к параллельному сдвигу гиперболы. Ее предельное положение (касание кривой Парето) дает оптимальную точку.

3.5.6. Множество Парето и критерий последовательной уступки

Пусть альтернатива характеризуется n частными критериями

y₁, y₂, ..., y_n.

Метод последовательной уступки заключается в том, что если два частных критерия конфликтны, то один из критериев можно значительно улучшить за счет незначительного ухудшения другого. Выбирают один из частных критериев и оптимизируют его значение до предельно возможного. Далее находят конфликтный критерий (пусть это будет критерий y₂), отступают от оптимума y₁ на y₁ (y₁ — уступка) и смотрят, насколько можно улучшить y_2.. Если y₂ > y₁, то процесс продолжают до тех пор, пока не окажется y₁ = y₂.

Выгодно сделать уступку по критерию y₁ на y₁, так как при переходе из т.1 в т.2 выигрыш по y₂ больше проигрыша по y_1. Для успешного использования этого метода кривая, на которой лежат точки множества Парето, должна иметь излом. Точка излома — оптимальная.

y₁ y₂

3.6. Множество Парето и шкалы измерений

Важнейшим свойством множества Парето является то, что состав множества Парето не зависит от типа шкалы, в которой производится измерение частных критериев — количественной или ранговой (шкалы предпочтений). Для иллюстрации этого свойства вернёмся к таблице из раздела 3.4.4 и заменим в ней значения критериев у1, у2 на места этих критериев в ранговой шкале. Если критерии имеют одинаковые значения, то они делят между собой занимаемые места и ранг получается как среднее значение этих мест. Например, значение критерия у1, равное 6, встречается дважды: у альтернативы 4 и у альтернативы 6. Эти два значения делят между собой на ранговой шкале четвёртое и пятое места. Тогда их ранг равен 4,5. Аналогично рассчитывается ранг значения 4 для критерия у2.

Соответствие значений критериев и их рангов (оценок предпочтений) отражено на рисунке, где внизу указаны значения критериев, а вверху — соответствующие им ранги. Наименьшее значение критерия у1, равное 2, является наихудшим и поэтому ему присваивается низший ранг, равный единице. Соответственно наилучшее значение у1, равное 10, получает высший ранг, равный 9, так как всего девять альтернатив. Остальные значения у1 получают промежуточные ранги, соответствующие порядковым номерам значений критерия у1. .Аналогичное соответствие рангов и значений имеет критерий у2.

В результате замены в таблице из раздела 3.4.4 значений критериев их рангами получим такую таблицу

Номера альтернатив	Значения критериев y1, y2	Ранги значений критериев y1 и y2
1	3, 10	2, 9
2	2, 9	1, 8
3	9, 5	8, 4
4	6, 7	4 - 5, 6
5	4, 4	3, 2 - 3
6	6, 4	4 - 5, 2 - 3
7	8, 3	7, 1
8	7, 8	6, 7
9	10, 6	9, 5

Если теперь построить множество Парето в соответствии с алгоритмом из п. 3.4.4 , в котором вместо значений критериев использовать их ранги из правого столбца, то увидим, что независимо от способа построения множества Парето — по значениям критериев или по рангам состав множества Парето будет один и тот же — альтернативы 1, 8, 9.

Описанное свойство множества Парето позволяет строить это множество не только тогда, когда альтернативы характеризуются количественными частными критериями, но и качественными, для которых количественная оценка невозможна. В этом случае роль количественных оценок качественных критериев играют их ранги. Например, можно проранжировать объекты по таким качественным критериям, как дизайн, качество использованных в объекте материалов, качество изготовления объекта, а затем построить множество Парето для ранговых значений указанных критериев и тем самым сократить число анализируемых альтернатив.