12. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.

Теорема (признак Даламбера). Пусть для числового ряда с положительными членами:

cуществует  l, то

при l<1 ряд сходится,

при l>1 ряд расходится,

при l=1 ряд может сходиться или расходиться (в этом случае признак на вопрос о сходимости ряда ответа не дает).

Признак Коши: Если существует  , то при l<1 ряд сходится; l>1 - ряд расходится; l=1 — определить сходимость невозможно.

Доказательство признака Коши аналогично доказательству признака Даламбера.

13. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.

Пусть члены знакоположительного числового ряда u₁+u₂+…+u_n… не возрастают: u₁u₂≥…≥u_n≥… и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;∞) функция, что f(1)=u₁, f(2)= u₂ ,…,        f(n)= =u_n,… . Тогда ряд (7) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом 

Доказательство. Построим график функции y=f(x) на отрезке [1;n] и построим прямоугольник с основаниями [1;2], [2;3], …, [n-1;n] и высотами u₁,u₂,…,u_n-1, а также с высотамиu₂,u₃,…,u_n.

S_n=u₁+u₂+…+u_n-1+u_n, S_впис=u₂^.1+u₃^.1+…+u_n^.1=u₂+u₃+…+u_n=S_n-u₁,

S_опис=u₁+u₂+…+ +u_n-1=S_n-u_n.

Площадь криволинейной трапеции S= . Получаем  S_n-u₁< < S_n-u_n. Отсюда

S_n<u₁+          

и S_n>u_n+       

Пусть   сходится. Это означает, что существует конечный предел  =Y. Соотношение (17) принимает вид: S_n<u₁+Y при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм S_n ряда (7) ограничена и, следовательно, ряд сходится. Пусть   расходится. Это означает, что  =∞ и тогда из следует, что последовательность частичных сумм S_n ряда неограничена и, следовательно, ряд расходится. Теорема доказана.

14. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Признак Лейбница

Если для знакочередующегося числового ряда

    (19)

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u₁>u₂>…>u_n>…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда или признак абсолютной сходимости)

Пусть

u₁+u₂+…+u_n+…=         (20)

знакопеременный ряд и пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

│u₁│+│ u₂│+…+│ u_n │+…= │ u_n │.           (21)

Тогда ряд (20) тоже сходится.

 Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знакопеременный ряд сходится условно.

15. Функциональный ряд. Сумма ряда. Определение равномерной сходимости функционального ряда.

Рассмотрим ряд,    , членами которого являются функции, определенные на промежутке    . При каждом фиксированном    имеем числовой ряд, сходимость которого может быть исследована рассмотренными ранее методами. Сумма функционального ряда    также является функцией от х:    . По определению предела последовательности: если для    можно указать номер   ( что интересно, для каждого фиксированного    - свой номер, т.е.   ), такой, что для     выполняется неравенство   , то это и означает, что функциональный ряд сходится к функции . Множество  , для которого это выполняется, называется областью сходимости функционального ряда.

Равномерная сходимость функционального ряда. Пусть    , т.е. функциональный ряд сходится. Если для    можно указать номер   независимо от   , такой, что для  выполняется неравенство   , то говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве .