Норма матрицы

Нормой матрицы   называется вещественное число  , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

1. , причём   только при  ;

2. , где  ;

3. ;

4. .

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.

Матричная норма   из   называется согласованной с векторной нормой   из   и векторной нормой   из   если справедливо:

для всех  .

Вопрос 30.Метрическое векторное пространство

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.Элементами этого множества являются вектора.

Определение

Метрическое пространство   есть множество точек с фиксированной функцией расстояния (также называется метрикой)  , где   обозначает множество вещественных чисел. Для любых точек   из   эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

1.  (аксиома тождества).

2.  (аксиома симметрии).

3.  (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть   (это вытекает из аксиомы треугольника при  ) и расстояние от   до   такое же, как и от   до  .

Неравенство треугольника означает, что пройти от   до   можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти от   до  , а потом от   до  .

Вопрос 32.Градиент, свойства градиента

Градие́нт — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины  , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Например, если взять в качестве   высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.

Пространство, на котором определена функция и её градиент может быть вообще говоря как обычным трехмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным.

Стандартные обозначения:

или, с использованием оператора набла,

— вместо   может быть любое скалярное поле, обозначенное любой буквой, например   — обозначения градиента поля V.

Свойства градиента: 1. Производная по направлению имеет МАХ значение в направлении совпадающем с градиентом.

1. Производная в направлении ⊥ градиенту равно 0.

2. Градиент ⊥ линиям уровня.

Вопрос 33.Матричная форма записи ряда Тейлора. Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Пусть функция   имеет   производную в некоторой окрестности точки  ,  Пусть  Пусть   — произвольное положительное число, тогда:   точка   при   или   при  :

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).