42.Итерационный процесс решения систем линейных алгебраических уравнений

Итерационные методы решения СЛАУ используются для решения СЛАУ большой размерности с разреженными матрицами, а также для уточнения решения СЛАУ, полученного с помощью прямого метода. Формулировка и применение итерационных методов требует определенных знаний и определенного опыта. Выбор эффективного итерационного метода решения конкретной задачи существенно зависит от ее характерных свойств и от архитектуры вычислительной машины, на которой будет решаться задача. Поэтому никаких общих правил выбора наилучшего итерационного метода решения не существует.

43.Функции невязки, ошибок

Метод минимизации обобщенной невязки

Итерационный метод минимизации обобщенной невязки также реализован в системе MATLAB. Для этого используется функция gmres:

• gmres (А, В. restart) — возвращает решение X СЛУ А*Х=В. А —квадратная матрица. Функция gmres начинает итерации от начальной оценки, представляющей собой вектор размера и, состоящий из нулей. Итерации производятся либо до сходимости к решению, либо до появления ошибки, либо до достижения максимального числа итераций. Сходимость достигается, когда относительный остаток norm(B-A*X)/norm(B) меньше или равен заданной погрешности (по умолчанию 1е-6). Максимальное число итераций — минимум из n/restart и 10. Функция gmres (...) имеет и ряд других форм записи, аналогичных описанным для функции bieg(...). Пример:

» gmres(A.B)

GMRES(4) converged at Iteration 1(4) to a solution with relative residual le-016

ans =

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000

Квазиминимизация невязки — функция qmr

Метод решения СЛУ с квазиминимизацией невязки реализует функция qmr:

• qmr (А, В) — возвращает решение X СЛУ А*Х=Ь. Матрица А должна быть квадратной. Функция qmr начинает итерации от начальной оценки, представляющей собой вектор длинойп, состоящий из нулей. Итерации производятся либо до сходимости метода, либо до появления ошибки, либо до достижения максимального числа итераций. Максимальное число итераций — минимум из п и 20. Функция qmr(...) имеет и ряд других форм записи, аналогичных описанным для функции bi eg (...). Пример:

» qmr(A.B)

QMR converged at iteration 4 to a solution

with relative residual l.le-014 

ans =

1.0000

2.0000

3 .0000

4.0000

44.Метод простой итерации

Одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики является решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a₂₁ x_n = b₂

……………………………………. .

a_n1 x₁ + a_n1 x₂ +… + a_nn x_n = b_n,

или в векторно-матричном виде:

Ax = B, (1)

г де

а 11 а12 ......а1n

а21 а22 -… .. а2n

А = ................

а n1 аn2 … . ann

b 1

b2

B =

b n

x 1

x2

x =

x n

45.Итерационный метод смещения

1) От узла к узлу с помощью вычислительного шаблона производится расчет новых значений переменных по старым, пока не будут получены значения во всех узлах.  2) Затем производится одновременная замена значений переменных во всех узлах сетки. Поскольку новые значения искомого решения вводятся одновременно во всех узлах сетки, порядок, в котором производятся вычисления, не имеет значения.  3) Вычисления заканчиваются, когда изменение значений переменных во всех узлах становится меньше некоторой заранее заданной величины.  Любой итерационный метод требует задания начального приближенного решения, которое может быть получено любым разумным способом. Часто для получения приближенных значений переменных в узлах сетки пользуются линейной интерполяцией. Очевидно, чем ближе исходное приближение к решению, тем меньше итераций необходимо для его получения. Для пояснения метода одновременных смещений рассмотрим пример.