60.Решение нелинейного уравнения нескольких переменных методом Левенберга - Марквардта
Для решения систем нелинейных алгебраических уравнений в пакете предлагаются две функции: FIND, MINERR. Обе функции доставляют решение системе уравнений при заданном векторе начальных приближений. Разработчики пакета указывают, что решение производится методом Левенберга-Марквардта. Этот метод пытается найти нули или минимум среднеквадратичной погрешности при решении заданной системы уравнений или системы неравенств. При решении с применением аппарата комплексных чисел раздельно решаются действительная и мнимая части уравнений.
При решении вычисляется также вектор невязки. Если его величина меньше TOL (переменная MATHCAD), система возвращает вектор переменных-неизвестных. Если для решения используется функция find, при величине вектора невязки больше TOL система сообщает: "решение не найдено". Когда используется функция minerr, вектор неизвестных возвращается даже в том случае, когда значение вектора невязки больше TOL. Наконец, если не обнаружено схождение за заданное число итераций, выдается сообщение об отсутствии сходимости (как при применении функции find, так и minerr). В любых случаях величина вектора невязки определяется значением переменной ERR.
Обе функции находят ближайшее решение. Для проверки существования других вариантов решения рекомендуется задать различные начальные приближения независимой переменной.
Отсутствие решения не означает, что решения нет. Чаще всего следует изменить начальные приближения. Поэтому для функций, имеющих так называемую область притяжения решения, остается проблема выбора вектора начальных приближений. Выходная информация при любом варианте отсутствия решения или при некорректном использовании в уравнениях нелинейных функций ограничена сообщением типа “решение не может быть найдено”.
61.Решение системы нелинейных уравнений методом спуска
Пусть
функция имеет вид:
.
И задача оптимизации задана следующим
образом:
Основная
идея метода заключается в том, чтобы
идти в направлении наискорейшего спуска,
а это направление задаётся антиградиентом:
где
выбирается
постоянной, в этом случае метод может расходиться;
дробным шагом, т.е. длина шага в процессе спуска делится на некое число;
наискорейшим спуском:
Алгоритм
Задают
начальное приближение и точность расчёта
Рассчитывают , где
Проверяют условие остановки:
Если
,
,
или
(выбирают одно из условий), то
и переход к шагу 2.
Иначе
и остановка.
62.Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона
Для
того, чтобы решить уравнение
,
пользуясь методом простой итерации,
необходимо привести его к виду
,
где
— сжимающее отображение. Чтобы
отображение было наиболее эффективно,
необходимо, чтобы в точке очередной
итерации
выполнялось
.
Будем искать решение данного уравнения
в виде
,
тогда:
Воспользуемся тем, что
, и получим окончательную формулу для
:
С учётом этого сжимающая функция примет вид:
Тогда алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:
