Вопрос 27.Матрица простой структуры, ее свойства

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица простой структуры-это матрица этого оператора, в ней по диагонали стоят собственные числа.Матрицей простой структуры называются матрицы, которые с помощью преобразования подобия можно привести к диагональному виду. Теорема 4.2. Матрица А является матрицей простой структуры тогда и только тогда, когда она имеет n линейно независимых собственных векторов e1, e2,…, en, отвечающих собственным значениям λ λ λn, ,... 1 2соответственно.

Теорема 4.3. Если все собственные значения матрицы А различны, то она является матрицей простой структуры.

Теорема 4.4. Если А-вещественная симметричная матрица, то она подобна диагональной матрице, причем матрица подобия Р может быть выбрана ортогональной (т.е. удовлетворяющей условию P^-1=P^Т).

Вопрос 28.Сингулярное разложение

Сингуля́рное разложе́ние (англ. singular value decomposition, SVD) — это разложение прямоугольной вещественной или комплексной матрицы, применяющееся во многих областях прикладной математики. Сингулярное разложение может быть использовано, например, для нахождения ранга и ядра матриц, псевдообратных матриц, приближения матриц матрицами заданного ранга. Любая матрица   порядка  , элементы которой — комплексные числа, может быть представлена в следующем виде, называемом сингулярным разложениемматрицы  :

где   — унитарная матрица порядка  ,   — диагональная матрица порядка   с неотрицательными вещественными числами на диагонали,   — унитарная матрица порядка  , а   — сопряжённо-транспонированная матрица к  .

Под диагональной прямоугольной матрицей здесь понимается матрица   такая, что все её недиагональные элементы равны нулю:

 если 

В частном случае, когда   состоит из вещественных чисел, существует сингулярное разложение вида  , в котором   и   — ортогональные матрицы.

Элементы   на диагонали матрицы   называются сингулярными числами матрицы   и определены с точностью до их перестановки. Обычно требуют, чтобы они располагались в матрице   в невозрастающем порядке — тогда   (но не   и  ) однозначно определяется по матрице  . Столбцы матриц   и   называются, соответственно, левыми и правыми сингулярными векторами.

Пусть дана матрица:

Одним из сингулярных разложений этой матрицы является разложение  , где матрицы  ,   и   следующие:

так как матрицы   и   унитарны (  и  , где   — единичная матрица), а   — прямоугольная диагональная матрица, то есть  , если  .

Вопрос 29.Нормы векторов и матриц Норма вектора

Норма в векторном пространстве   над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал  , обладающий следующими свойствами:

1. 

2.  (неравенство треугольника);

3. 

Эти условия являются аксиомами нормы.

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.

Нетрудно видеть, что из аксиом нормы вытекает свойство неотрицательности нормы:

4. 

Действительно:

Из 3 получаем, что  . Теперь из 2 получаем  . Таким образом,  .

Чаще всего норму обозначают в виде:  . В частности,   — это норма элемента   векторного пространства  .

Вектор с единичной нормой ( ) называется нормальным или нормированным.

Любой ненулевой вектор   можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор   имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.