47) Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k + 1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k + 1)-е приближения неизвестных x1, x2, …, xi - 1.

Пусть получена эквивалентная система (18). Выберем произвольно начальные приближения корней . Далее, предполагая, что k-ые приближения корней известны, согласно Зейделю будем строить (k + 1)-е приближения корней по формулам:

Заметим, что указанные выше условия сходимости для простой итерации остается верной для итерации по методу Зейделя. Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но приводит к более громоздким вычислениям.

Пример 8. Методом Зейделя решить систему уравнений

Приведем эту систему к виду, удобному для итерации:

В качестве нулевых приближений корней возьмем:

Применяя процесс Зейделя, последовательно получим:

Результаты вычислений с точностью до четырех знаков приведены в Таблице 2.

Таблица 2: Нахождение корней линейной системы методом Зейделя

i
0.	1,2000	0,0000	0,000
	1,2000	1,0600	0,9480
	0,9992	1,0054	0,9991
	0,9996	1,0001	1,0001
	1,000	1,000	1,000
	1,000	1,000	1,000

Точные значения корней: х1 = 1; х2 = 1; х3 = 1.

48) Метод релаксации Метод релаксации - итерационный метод решения систем линейных уравнений.

Система линейных уравнений

приводится к виду

Где , ,

Находятся невязки (ошибки (погрешности) в результате вычислений) :

Выбирается начальное приближение . На каждом шаге необходимо обратить в ноль максимальную невязку:

.

Условие остановки:

.

Ответ находится по формуле:

.

49) Метод Чебышева

Метод получения класса итерационных алгоритмов нахождения однократного действительного корня уравнения f(x)=0, (1), где f(х) - достаточно гладкая функция.

В основе метода лежит формальное представление обратной к f(х)функции x=F(y)пo формуле Тейлора. Если - достаточно точное приближение для корня х уравнения (1), то

где коэффициенты рекуррентно определяются из соотношения через коэффициенты Тейлора функции Полагая в (2) y=0, получают соотношение

Несколько членов справа в (3) дают формулы итерационного алгоритма; так при двух членах получается Ньютона метод, а при трех членах получается итерационный метод вида

С ростом числа учитываемых в (3) членов возрастает скорость сходимости х п к х(см. [2]). Метод может быть распространен на функциональные уравнения (см. [3]).

50/51) Метод минимальных невязок (Одношаговый, двухшаговый - гугл не нашел )

итерационный метод решения линейного операторного уравнения

с самосопряженным положительно определенным ограниченным оператором А, действующим в гильбертовом пространстве Н, и заданным элементом . Формулы М. н. м. имеют вид

где параметр выбирается на каждом шаге из условия максимальной минимизации нормы невязки т. е. требуется выполнение соотношения

Если спектр оператора А принадлежит отрезку [ т, М] действительной оси, где - положительные числа, то последовательные приближения метода (2) -(3) сходятся к решению уравнения (1) со скоростью геометрич. прогрессии со знаменателем

Различные способы определения в H скалярного произведения приводят к различным итерационным методам. В частности, при специальных скалярных произведениях формулы М. н. м. совпадают с формулами наискорейшего спуска метода и метода минимальных ошибок (см. [2]).

Условия сходимости М. н. м. могут быть ослаблены по сравнению с перечисленными выше: если рассматривать на нек-рых подмножествах из H.

Напр., если рассматривать М. н. м. только в действительных пространствах, то можно отказаться от требования самосопряженности оператора А(см. [3], [4]).