- •1)Векторное (линейное) пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трехмерного пространства.
- •Вопрос 21.Ортогональная, ортонормированная матрица, неквадратная матрица с ортогональными (ортонормированными) столбцами.
- •Вопрос 22.Обращение матрицы методом Гаусса
- •Вопрос 23.Разложение матрицы в произведение ортогональной и треугольной (метод Шмидта)
- •Вопрос 24.Ортогональные функции и ортогональные полиномы
- •Вопрос 25.Построение полинома ортогонального на дискретной системе точек
- •По моментам весовой функции
- •По рекуррентным формулам
- •Вопрос 26.Собственные векторы и собственные числа матрицы
- •Вопрос 27.Матрица простой структуры, ее свойства
- •Вопрос 28.Сингулярное разложение
- •Вопрос 29.Нормы векторов и матриц Норма вектора
- •Норма матрицы
- •Вопрос 30.Метрическое векторное пространство
- •Вопрос 32.Градиент, свойства градиента
- •Вопрос 33.Матричная форма записи ряда Тейлора. Формула Тейлора
- •Различные формы остаточного члена
- •Вопрос 34.Минимизация погрешности интерполяции
- •Вопрос 35.Обобщенный подход к процессу интерполяции Интерполяция функций интерполяционными полиномами
- •Задача интерполяции функции, интерполяционные полиномы
- •Вопрос 36.Численное взятие производной.
- •Введение
- •Погрешность вычислений
- •Вопрос 37.Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Метод Гаусса
- •Вопрос 38.Матрица перестановок
- •Определение
- •Свойства
- •Вопрос 39.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцам Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •Вопрос 40.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом вращения Метод вращения
- •40.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом вращения
- •41.Решение системы линейных уравнений методом факторизации матрицы
- •42.Итерационный процесс решения систем линейных алгебраических уравнений
- •43.Функции невязки, ошибок
- •44.Метод простой итерации
- •45.Итерационный метод смещения
- •Пример.
- •46) Метод Якоби
- •47) Метод Зейделя
- •48) Метод релаксации Метод релаксации - итерационный метод решения систем линейных уравнений.
- •49) Метод Чебышева
- •50/51) Метод минимальных невязок (Одношаговый, двухшаговый - гугл не нашел )
- •52) Решение нелинейного уравнения одной переменной методом дихотомии
- •53) Метод золотого сечения
- •56) Симплекс метод (метод Нелдера – Мида)
- •57) Метод наискорейшего спуска
- •59) Решение систем нелинейных уравнений нескольких переменных методом Ньютона
- •60.Решение нелинейного уравнения нескольких переменных методом Левенберга - Марквардта
- •61.Решение системы нелинейных уравнений методом спуска
- •62.Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона
- •63.Решение системы нелинейных уравнений методом Левенберга - Марквардта
- •64.Структура м – функции
- •65.Арифметические операторы Матлаб
- •65)Арифметические операторы.
40.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом вращения
Как и в методе Гаусса, цель прямого хода преобразований в этом методе – приведение системы к треугольному виду последовательным обнулением поддиагональных элементов сначала первого столбца, затем второго и т.д.
Пусть с1 и s1 – некоторые отличные от нуля числа. Умножим первое уравнение исходной системы (1) на с1, второе на s1 и сложим их; полученным уравнением заменим первое уравнение системы. Затем первое уравнение исходной системы умножаем на –s1, второе – на c1 и результатом их сложения заменим второе уравнение. Таким образом, первые два уравнения (1) заменяются уравнениями
Отсюда .
Эти числа можно интерпретировать как косинус и синус некоторого угла (отсюда название метод вращений, каждый шаг такого преобразования можно рассматривать как вращение расширенной матрицы системы в плоскости обнуляемого индекса).
В результате преобразований получим систему
где
Далее первое уравнение системы заменяется новым, полученным сложением результатов умножения первого и третьего уравнений соотведлтственно на
а третье – уравнением, полученным при сложении результатов умножения тех же уравнений соответственно на –s2 и с2. Получим сис
где
Выполнив преобразование m-1 раз, придем к системе
Вид полученной системы такой же, как после первого этапа преобразований методом Гаусса. Эта система обладает следующим свойством: длина любого вектора-столбца (эвклидова норма) расширенной матрицы остается такой же, как у исходной матрицы. Следовательно, при выполнении преобразований не наблюдается рост элементов.
Далее по этому же алгоритму преобразуется матрица
и т.д.
В результате m-1 этапов прямого хода система будет приведена к треугольному виду.
Нахождение неизвестных не отличается от обратного хода метода Гаусса.
Треугольная, точнее, трапециевидная структура последней системы позволяет последовательно одно за другим вычислять значения неизвестных, начиная с последнего:
41.Решение системы линейных уравнений методом факторизации матрицы
Трехдиагональная линейная система уравнений может быть записана в следующем виде:
ai*ui-1-bi*ui+ci*ui+1+fi=0,
где 0<=i<N, a0=cN-1=0, u - искомое решение.
Матрица этой системы состоит из главной диагонали (с коэффициентами -bi) и примыкающих к ней сверху и снизу диагоналей (соответственно ci и ai).
Прямое (безытерационное) решение этой системы уравнений можно проводить методом ее факторизации (прогонка, или алгоритм Томаса), либо методом последовательного исключения сначала нечетных, затем делящихся на 2, но не на 4, и т.д. уравнений и соответствующего преобразования коэффициентов. Последний метод называется редукцией или бинарным исключением.
Алгоритм Томаса
Решение ищется в виде:
ui-1=beti*ui+gami
В этом случае для bet и gam получаются рекуррентные формулы:
beti+1=ci*fi, gami+1=(fi+ai*gami)*fi, fi=1/(bi-ai*beti); bet0=gam0=0.
По этим формулам вспомогательные массивы вычисляются для i от 1 до N, затем находится uN-1=gamN, а затем при известных вспомогательных массивах вычисляются все значения u.
Алгоритм принципиально не может иметь ведущего элемента, и есть вероятность того, что он не сойдется даже для несингулярной матрицы. Для этого в программе, реализующей прогонку, необходимо контролировать значения fi. Еще два замечания: длины рекуррентных цепочек порядка N, поэтому при экспоненциальном накоплении погрешностей (что происходит при преобладании значений |beti|>1) прогонка практически обязательно разойдется. Второе: алгоритм сохраняет исходные значения коэффициентов. Доказано, что для устойчивой работы алгоритма Томаса достаточно диагонального преобладания, однако, во многих случаях он сходится и при отсутствии такового.