10. Биномиальное распределение. Формула Бернулли. Распределение Пуассона. Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каж­дом из которых событие А может появиться, либо не поя­виться. Вероятность наступления события во всех испы­таниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q=1-p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распреде­ления величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности.

Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не поя­виться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза либо n

раз. Таким образом, возможные значения X таковы: х1=0, x2=1, x3=2, xn+1=n.

Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

P_n(k)=C_n^kp^kq^n-k (*)

Где k=0,1,2,3…n

Формула (*) и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятнос­тей, определяемое формулой Бернулли.

Закон назван «биноминальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общин член разложения бинома Ньютона

(p+q)ⁿ = C_nⁿpⁿ + C_n^n-1p^n-1q+ ... + C_n^kp^kq^n-k +…+ C_n⁰qⁿ

Таким образом, первый член разложения рn опреде­ляет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях: второй член npn-1q определяет вероятность наступления события n—1 раз; ...; последний член qn определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биноминальный закон в виде таблицы:

X n n-1 … k … 0

P pⁿ np^n-1q … C_n^kp^kq^n-k … qⁿ

Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде та­блицы закон распределения случайной величины X — числа выпадений герба. Решение. Вероятность появления герба в каждом бросании монеты Р=1/2» следовательно, вероятность непоявления

герба q=1-1/2=1/2

При двух бросаниях монеты герб может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Та­ким образом, возможные значения X таковы: x1=2, x2=1, x3=0.

Найдем вероятности этих возможных значений по фор­муле Бернуллн:

P₂(2)=C₂²p²=(1/2)²=0,25.

P₂(1)=C₂¹pq=2*1/2*1/2=0,5.

P₂(0)=C₂⁰q²=(1/2)²=0,25.

Напишем искомый закон распределения: X 2 I 0

P 0.25 0.5 0.25.

Контроль: 0,25+0,5+0,25=1.

Формула Бернулли

Предположим, что несколько одинаковых машин в одних и тех же условиях перевозят груз. Любая машина может выйти из строя при этих перевозках. Пусть вероятность выхода из строя одной машины не зависит от выхода из строя других машин. Это значит, что рассматриваются независимые события (испытания). Вероятности выхода из строя каждой из этих машин примем одинаковыми ( ).

Пусть, в общем случае, производится   независимых испытаний. Ставится задача определения вероятности того, что ровно в   испытаниях наступит событие  , если вероятность наступления этого события в каждом испытании равна  . В случае с машинами это могут быть вероятности выхода из строя ровно одной машины, ровно двух машин и т.д.

Определим вначале вероятность того, что в первых   испытаниях событие   наступит, а в остальных   испытаниях — не наступит. Вероятность такого события может быть получена на основании формулы вероятности произведения независимых событий

,

где  .

Так как рассматривалась только одна из возможных комбинаций, когда событие   произошло только в первых   испытаниях, то для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбинации. Их число будет равно числу сочетаний из   элементов по  , т.е.  .

Таким образом, вероятность того, что событие   наступит ровно в   испытаниях определяется по формуле

, (3.3)

где  .

Формула (3.3) носит название формулы Бернулли.

Пример. В четырех попытках разыгрываются некоторые предметы. Вероятность выигрыша в каждой попытке известна и равна 0,5. Какова вероятность выигрыша ровно трех предметов?

Решение. По формуле Бернулли находим