Распределение Пуассона

В одинаковых условиях производится n независимых испытаний. В каждом может появиться событие А с вероятностью р или появиться событие А отрицательное(- над А) с вероятностью q (q=1-p). Вероятность того, что при n испытаниях событие А появится m раз и не появится n-m раз, определяется формулой Бернулли. Рассмотрим случай, когда n является достаточно большим, а p достаточно малым. Положим np=a где а – некоторое число. Распределение Пуассона называется распределение вероятности ДСВ, определенной формулой:

где a = n · p — параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию.

Замечание 1.

Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения.

Lim(n->∞) Pm=(am *e-a)/m!

Замечание 2.

∑(от k=0 до ∞) Pm = ∑(от k=0 до ∞) (am *e-a)/m! = 1

Замечание 3.

Математическое ожидание ДСВ распределенной по закону Пуассона = числу а – параметру этого распределения

M(x)=a

Замечание 4.

D(x)=a

Замечание 5.

Сумма двух независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона с параметрами а и b так же распределена по закону Пуассона с параметрами a+b

P(x+y)=(((a+b)m)/k!)*e-(a+b)

Эта формула рассчитана на n независимых величин, распределенных по закону Пуассона.

11. Непрерывная случайная величина

Определение: Непрерывной называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения.

Определение: Функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения х R

вероятность того, что случайная величины Х в результате испытания примет значение, меньшее х:

F(x)=P(X<x),где х R

Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения.

Свойства функции распределения:

1)1≤ F(x) ≤1

2)У непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

3) Вероятность попадания случайной величины Х в один из промежутков (а;b), [а;b), [а;b], равна разности значений функции F(х) в точках а и b,т.е. Р(а<Х<b)= F(b)- F(a)

4)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно отдельное значение равна 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности распределения вероятностей (плотность распределения).

12. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.

Определение: Плотностью распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т.е.:

f(x)=F’(x)

Плотность распределения вероятностей иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения.

График плотности распределения вероятностей f(x) называется кривой распределения вероятностей.