8. Математическое ожидание св и его свойства.

Математическое ожидание ДСВ Х принимающей конечное множество значений с законом распределения

p(X=x_k)=p_k; k=1,2,3,…,n (1)

_k=1 (2)

называется сумма произведений ее значений на их соответствующие вероятности

M(x) = x₁*p₁+x₂*p₂+…+x_n*p_n

M(x) = _kp_k

В мат. ожидании ДСВ приближенно равно среднему арифметическому всех ее возможных значений. В следствие этого мат. ожидание СВ называют его средним значением.

Замечание:

Мат. ожидание СВ называют так же центром распределения. Это название заимствовано из механики и объясняется следующим:

- если в точках x₁, x₂,…,x_n оси Ox находятся соответственно массивы p₁,p₂,…,p_n, то координата x центра тяжести системы материальных точек вычисляется по формуле:

X = мат. ожидание

вероятность

Замечание:

Поскольку выполняется 2, то X = _k­p_k = M(x)

Мат. ожидание ДСВ принимающей бесконечную последовательность значений с законом распределения

p(X-x_k) = p_k; k=1,2,3,… (4)

_k=1 (5)

M(x)=x₁p₁+x₂p₂+…

M(x)= _kp_k (6)

Определяется формулой 6 если ряд сходится абсолютно.

Мат. ожидание непрерывной СВ Х, все значения которой принадлежат отрезку [α; β], а p(x) – ее плотность вероятности определяется формулой:

M(x)= (7)

Если все значения непрерывной СВ X принадлежат бесконечному промежутку (-∞;+∞) а p(x) – ее плотность вероятности, то мат. ожидание определяется формулой:

M(x)= (8)

Когда этот несобственный интеграл сходится абсолютно. Мат. ожидание СВ есть величина постоянная

Свойства математического ожидания:

1. Значение мат. ожидания СВ X заключено между ее наименьшим и наибольшим значениями:

a ≤ M(x) ≤ b (9), где a – наименьшее, b – наибольшее

2. Мат. ожидание постоянной величины равно этой величине:

M(C) = C, C=const (10)

3. Постоянный множитель можно вынести за знак мат. ожидания:

M(CX) = C*M(X), C=const (11)

4. Мат. ожидание суммы двух СВ равно сумме их мат. ожиданий:

M(X+Y) = M(X) + M(Y) (12)

это равенство распространяется на n случайных величин:

M(x₁+x₂+…+x_n) = M(x₁) + M(x₂) +…+ M(x_n) (13)

5. Мат. ожидание разности двух СВ равно разности их мат. ожиданий:

M(X-Y) = M(X) – M(Y) (14)

6. Мат. ожидание произведения двух независимых СВ равно произведению мат. ожиданий этих величин:

M(X*Y) = M(X) * M(Y) (15)

это равенство распространяется на n независимых С:

M(x₁*x₂*…*x_n) = M(x₁) * M(x₂) *…* M(x_n) (16)

Пример 1: Найти мат. ожидание ДСВ X, закон распределения которой задан таблицей

x	3	4	5	6	7
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Решение:

В соответствии с формулой 3 находим:

M(x) = 3*0,1 + 4*0,2 + 5*0,4 + 6*0,2 + 7*0,1 = 5

Итак мат. ожидание данной СВ=5

3 < 5 < 7

a < M(x) <b

неравенство 9 выполняется.

Пример 2: Закон распределения ДСВ задан таблицей:

x	-4	-2	0	2	4
p	0,1	0,2	0,15	0,25	0,3

Записать закон распределения СВ: 3x; .

Найти мат. ожидание СВ: x;3x;

Решение:

Запишем законы распределения СВ 3x и с помощью таблицы. По формулам 3 вычислим мат. ожидание этих величин:

3x	-12	-6	0	6	12
p	0,1	0,2	0,15	0,25	0,3

M(3x)

	-2	-1	0	1	2
P	0,1	0,2	0,15	0,25	0,3

M( )

	-4	-2	0	2	4
p	0,1	0,2	0,15	0,25	0,3

M(x)

M(x) = -4*0,1-2*0,2+0*0,15+2*0,25+4*0,3 = 0,9

M(3x) = -12*0,1-6*0,2+0*0,15+6*0,25+12*0,3 = 2,7

M( ) = 0,45

Замечание: мат. ожидание СВ 3x и можно выполнить пользуясь равенством 11 при известном мат. ожидании величины X:

M(3x) = 3M(x) = 3*0,9 = 2,7

M( *x) = * M(x) = 0,45.