- •События, их виды и действия с ними. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности.
- •Аксиоматическое определение вероятности
- •Классическое и статистическое определения вероятности. Свойства вероятности. Классическое определение вероятности.
- •Свойства вероятности.
- •Относительная частота. Статистическое определение вероятности.
- •Теоремы сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей.
- •4. Независимость событий. Условные вероятности. Теоремы об умножениях вероятностей зависимых и независимых событий. Условная вероятность
- •Независимость событий
- •Теоремы умножения вероятностей.
- •5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Формула полной вероятности.
- •6. Схема и формула Бернулли.
- •7. Понятия случайной величины.
- •Функция распределения
- •Свойства функции распределения:
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины.
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •8. Математическое ожидание св и его свойства.
- •Дисперсия и ее свойства. Стандартное отклонение.
- •Свойства дисперсии:
- •10. Биномиальное распределение. Формула Бернулли. Распределение Пуассона. Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •11. Непрерывная случайная величина
- •Свойства функции распределения:
- •Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
- •Свойства плотности распределения вероятностей:
- •13. Равномерный закон распределения
- •Понятие многомерной (векторной) св и ее закон, функция и плотность распределения. Условные математические ожидания и дисперсии. Многомерные случайные величины
- •Зависимые св. Ковариация и коэффициент корреляции. Корреляционная матрица случайного вектора. Независимые случайные величины
- •Свойства независимых случайных величин
- •Ковариация
- •Линейный коэффициент корреляции
- •Нормальное распределение.
- •Центральная предельная теорема
- •Нормальное распределение(не википед)
- •18. Вероятность попадания св в заданный интервал .Вероятность заданного отклонения нормальной св.Правило 3 сигм.
- •Отметим ряд свойств функции Лапласа, полезных для применения.
- •19. Теоремы Муавра-Лапласа
- •Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова и ее применение.
- •Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
- •Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •Полигон и гистограмма.
- •Генеральная и выборочная средние, их свойства. Оценка генеральной средней по выборочной.
- •Генеральная и выборочная дисперсии, их свойства. Оценка генеральной дисперсии по выборочной. Исправленная дисперсия.
- •Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.
Свойства плотности распределения вероятностей:
1)f(x) ≥0,при х R
х
2) F(x)= ∫ f(x)dx
-∞
Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения снизу осью ОХ и лежащей левее точки х (рис.1)
b
3) Р(а<Х<b)= ∫ f(x)dx
a
Геометрически полученная вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью ОХ, слева и справа прямыми х=а, х=b (рис. 2)
-∞
4) ∫ f(x) dx=1-условие нормировки
+∞
рис.1 рис.2
Задача №1.Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:
0 при х≤2,
f(x)= с(х-2) при 2<х≤6,
0 при х>6.
Найти: а) значение с; б) функцию распределения F(х) и построить ее график; в) Р(3≤х<5)
Решение:
+∞
а) Значение с найдем из условия нормировки: ∫ f(x)dx=1.
Следовательно, -∞
+∞ 2 6 +∞ 6 6
∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(х-2)dx +∫ 0dx= c∫ (х-2)dx=с(х2/2-2х) =с(36/2-12-(4/2-4))=8с;
-∞ -∞ 2 6 2 2
8с=1;
с=1/8.
х
б) Известно, что F(x)= ∫ f(x)dx
-∞
Поэтому, х
если х≤2, то F(x)= ∫ 0dx=0;
-∞ 2 2 х
если 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х- (4/2-4))=
-∞ -∞ 2
=1/8(х2/2-2х+2)=1/16(х-2)2;
2 6 х 6 6
если х>6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) =
-∞ 2 6 2 2
=1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8•8=1.
Таким образом,
0 при х≤2,
F(х)= (х-2)2/16 при 2<х≤6,
1 при х>6.
График функции F(х) изображен на рис.3
рис.3
в) Р(3≤Х<5)=F(5)-F(3)=(5-2)2/16-(3-2)2/16=9/16-1/16=5/16.
Задача №2. Случайная величина Х задана функцией распределения:
0 при х≤0,
F(х)= (3• arctg х)/π при 0<х≤√3,
1 при х>√3.
Найти дифференциальную функцию распределения f(х)
Решение: Т.к. f(х)= F’(x), то
0 при х≤0,
f(х)= (3•(1+х2)) /π при 0<х≤√3,
0 при х>√3.