Нормальное распределение.
Нормальное распределение, также называемое гауссовым распределением или распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:
где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.
Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в статистической физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа независимых факторов, способных вносить с равной погрешностью положительные и отрицательные отклонения, вне зависимости от природы этих случайных факторов, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из названий этого распределения вероятностей).
Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.
Центральная предельная теорема
Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:
отклонение при стрельбе
некоторые погрешности измерений (однако, многие погрешности приборов в технике имеют сильно не нормальные распределения)
рост живых организмов
Такое широкое распространение закона связано с тем, что он является предельным законом, к которому приближаются многие другие (например, биномиальный).
Центральная предельная теорема показывает, что в случае, когда результат измерения (наблюдения) складывается под действием многих независимых причин, причем каждая из них вносит лишь малый вклад, а совокупный итог определяется аддитивно, т.е. путем сложения, то распределение результата измерения (наблюдения) близко к нормальному.
Нормальное распределение(не википед)
Для
вычисления математического ожидания
нормально распределенной случайной
величины воспользуемся тем, что интеграл
Пуассона
.
(
первое слагаемое равно 0, так как
подынтегральная функция нечетна, а
пределы интегрирования симметричны
относительно нуля).
.
Следовательно, параметры нормального распределения (а и σ) равны соответствен-но математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению исследуемой случайной величины.
18. Вероятность попадания св в заданный интервал .Вероятность заданного отклонения нормальной св.Правило 3 сигм.
Известно,
что если случайная величина X задана
плотностью распределения 
,
то вероятность того, что X примет
значение, принадлежащее интервалу
(a,b), такова:
.
Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда
.
Преобразуем
эту формулу так, чтобы можно было
пользоваться готовыми таблицами. Введем
новую переменную 
.
Отсюда 
.
Найдем
новые пределы интегрирования. Если 
,
то 
,
если 
,
то 
.
Тогда
.
Выражение 
,
входящее в эту формулу, является функцией
верхнего предела X, которая называется
функцией Лапласа или интегралом
вероятностей и обозначается Ф(x). В
результате получаем:
Ф
—
Ф
,
где
Ф(x) = 
.
Эту формулу называют формулой Лапласа.
Если
случайная величина X является признаком
генеральной совокупности, то формула
Лапласа дает долю элементов генеральной
совокупности, у которых значение признака
X находится в границах от 
до 
.
Интеграл,
через который выражается функция
Лапласа, нельзя выразить через элементарные
функции. Его можно представить в виде
степенного ряда, если разложить в ряд
подынтегральную функцию
и
почленно проинтегрировать ряд. Тогда
Ф(x) = 
.
C помощью этого ряда можно вычислить значение Ф(x) для любого x с любой точностью. Составлены специальные таблицы значений функции Лапласа.